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Caída en un medio viscoso


Cuando se estudia en física la caída de los cuerpos o caída libre se desprecia la resistencia del aire para simplificar, y esta consideración teórica no produce un error importante en los cálculos debido a que la viscosidad del aire es muy baja. Sin embargo, la fuerza de resistencia al movimiento, aun en el aire, puede ser considerable en dependencia de la velocidad del cuerpo que cae y de su forma. El cálculo de la fuerza de resistencia solo se puede hacer en algunos pocos casos en los cuales el objeto tiene una forma simple tal como una esfera. En el presente artículo examinaremos el movimiento de una esfera diminuta que cae lentamente en un medio viscoso.

La ecuación de Stokes.

Trabajando es este campo, el científico George Stokes encontró en 1845 que la fuerza resistiva sobre una esfera muy pequeña de radio r que cae en un fluido de viscosidad η corresponde a la expresión:

Fr = 6πηrv      (ecuación 1)

Donde v es la velocidad del objeto que cae.

La ecuación de Stokes nos sirve como punto de partida para caracterizar el movimiento de una esfera diminuta en un medio viscoso, veamos:

Caída del objeto

figura 1
Figura 1. Las tres fuerzas que actúan en un esfera cuando cae dentro de un medio viscoso.

A medida que la esfera cae dentro del medio viscoso, sobre ella actúan tres fuerzas como se muestra en la figura 1:

1.- Fr es la fuerza debida al rozamiento.

2.- f es la fuerza de flotación.

3.- w es el peso de la esfera.

El peso de la esfera es:

(ecuación 2)

Donde ρ es la densidad de la esfera, 4/3πr3 su volumen y g la aceleración de la gravedad.

Por su parte la fuerza de flotación según el principio de Arquímedes es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo, esto es:

(ecuación 3)

Donde ρf es la densidad del fluido.

Cuando comienza la caída, la fuerza de rozamiento es cero debido a que la velocidad de la esfera es también cero, pero a medida que ella acelera bajo la influencia de la gravedad su velocidad aumenta y con ello la fuerza de rozamiento, llegará un momento en el cual la fuerza de rozamiento Fr sumada a la fuerza de flotación f balancean completamente el peso del cuerpo y la fuerza neta resultante sea cero. En ese momento se habrá alcanzado la velocidad máxima posible, llamada velocidad terminal (vt). Nuestra esferita alcanzará la velocidad terminal cuando:

Fr + f = w      (ecuación 4)

Esto es:

(ecuación 5)

Si despejamos a vt tenemos que la velocidad terminal corresponde a la expresión:

(ecuación 6)

La condición física de equilibrio de fuerzas Fr + f = w, que sirve para calcular la velocidad terminal es válida para un objeto de cualquier forma, pero en el caso de los cuerpos no esféricos ya no podremos utilizar la ecuación de Stokes y en su lugar podemos asumir que Fr = kv donde k es un coeficiente de resistencia al rozamiento que debe ser determinado experimentalmente.



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