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Centro de masa


En un sistema con varios cuerpos hay un punto con propiedades especiales que se llama centro de masa. Cuando el sistema está aislado, es decir, no recibe la acción de ninguna fuerza, el punto se mueve a velocidad constante, como si fuera simplemente un punto sin aceleración. Si se aplica una fuerza al sistema, este punto acelera como si la fuerza estuviera aplicada en él.

Supongamos que tenemos un sistema de diferentes masas m1m2m3 ..... mn  separadas en el espacio a distancias fijas y que suman un total de masa M; la expresión general para determinar las coordenadas del centro de masa es:

ecuaciones 1 (ecuaciones 1)

El uso de las ecuaciones 1 implica que para determinar la posición del centro de masa de un sistema, debemos, ante todo, definir un punto de referencia a partir del cual vamos a medir los vectores que dan la posición del centro de masa. En un sistema de tipo lineal, como por ejemplo, dos masas esféricas en colocadas a lo largo de una varilla sin masa podemos proceder como sigue:

figura 1

Figura 1

Figura 2

Figura 2

En la figura 1 se muestra un esquema del sistema lineal mencionado arriba, en él una masa de 1.6 kg está en un extremo de la varilla y se ha colocado en el origen del eje x, esto es x = 0 m. La otra masa de magnitud 1.8 kg está a 1.2 m del origen, la masa de la varilla es tan poca que puede despreciarse. Sustituyendo en las ecuaciones 1 para X tenemos:

solucion

Es decir el centro de masa está algo mas cerca de la masa mayor como era de esperase. 

Su sustituimos para dos masas iguales de 1.6 kg, tendremos que el centro de masa estará a X= 0.6 m, exactamente en la mitad de la distancia entre las dos masas.

Veamos ahora el caso de un sistema en dos dimensiones al agregar una masa m3 = 2.3 kg a una distancia de 1.1m sobre el eje y como se muestra en la figura 2.

Sustituyendo en las ecuaciones 1 para hallar las coordenadas x e y del centro de masa tenemos:

Coordenada x:

coordenada x

 x resuelta

  Coordenada y:
  
 coordenada y

 y resuelta

Del mismo modo se opera en un sistema de tres dimensiones, pero, por supuesto, hay que agregar un eje z y calcular su valor para situar el centro de masa en el espacio.

Cuando se considera la gravedad como fuerza actuante en un objeto rígido, se puede asumir sin error que la fuerza actúa en el centro de masa y se  le conoce generalmente como centro de gravedad.

figura 3

Figura 3

figura 4
Figura 4

Centro de masa de cuerpos continuos

Para los cuerpos rígidos y continuos el centro de masa puede calcularse usando métodos matemáticos complejos que no trataremos aquí, no obstante, este centro puede ser determinado experimentalmente para objetos planos, cuando la masa del objeto es lo suficientemente pequeña como para poder manipularlo con facilidad.
 

Observe las figuras 3 y 4 , en ellas un cuerpo continuo y plano se ha colgado de una cuerda y se ha asumido que el centro de masa está en el punto marcado con una x. Como ya sabemos la fuerza de gravedad (equivalente al peso) actúa en el centro de masa, solamente el sistema estará estático y en equilibrio cuando la linea vertical que pasa por el centro de masa (o centro de gravedad), y que es a su vez la dirección del peso, coincida exactamente debajo del punto donde se ha colgado, es decir como una continuación de la dirección de la cuerda. En la figura 3 se ve que este requisito no se cumple, por lo que se produce un momento debido al producto Mg que hace girar al cuerpo buscando la posición de equilibrio, la que finalmente se alcanza en la figura 4.

Si hacemos lo mismo, pero colgando el cuerpo por otro punto, volveremos a encontrar otra linea que pasa por el centro de masa. La intersección de ambas se produce en el centro de masa. Es común que al centro de masa se le llame centro de gravedad.



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