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Contenido del artículo
Fuerza electromotriz.
Las pilas en los circuitos eléctricos.
Resistores en serie.
Resistores en paralelo.
Reglas de Kirchhoff.
Circuitos RC.

Circuito simple
Figura 1. Circuito eléctrico simple.


Circuitos de corriente directa

Cuando las pilas, las resistencias eléctricas, los condensadores y otros elementos eléctricos se conectan entre sí usando conductores ideales (alambres) que no oponen dificultad alguna al paso de la corriente eléctrica (resistencia nula) se dice que se tiene un circuito eléctrico. La figura 1 muestra un diagrama de un circuito eléctrico simple formado por una pila conectada por alambres de resistencia nula a una resistencia eléctrica (R) por la que fluye una corriente I.

Fuerza electromotriz

Desde que Alessandro Volta, inventor de la primera pila en 1800, introdujo el término fuerza electromotriz, se ha convertido en tradición el uso de tal frase para referirse a la fuente de energía eléctrica que causa que las cargas se muevan en los circuitos eléctricos, y aunque la palabra fuerza está fuera de contexto, se sigue utilizando con frecuencia hoy en día. Para evitarnos la imprecisión, utilizaremos el término fem al referirnos a tal fuente.

Cuando pensamos en fem rápidamente nos viene a la mente una pila, sin embargo, el hombre ha creado otros dispositivos que funciona como fuente de energía eléctrica: además de la pila que convierte energía química en fem, están las celdas fotovoltaicas que convierten la energía luminosa en fem; los termopares que convierten a fem una diferencia de temperatura; los transductores piezoeléctricos que convierten una deformación mecánica en fem; y los generadores, que convierten energía mecánica en fem partiendo de combustible quemado o combustible nuclear, o de la energía cinética de un salto de agua.

Para el estudio de los circuitos eléctricos es conveniente utilizar una pila como fuente de fem dada la característica de que la fem de la pila se mantiene constante con el tiempo y esto trae como consecuencia que la diferencia de potencial y la corriente en un circuito simple como el de la figura 1 sean igualmente constantes con el tiempo. A este tipo de circuito donde los potenciales y las corrientes se mantiene constantes con el tiempo se les llama circuitos de corriente continua, de corriente directa, circuitos CD, o circuitos DC (del inglés Direct Current)*.

*  Es común que en la práctica se utilicen también estos términos para los circuitos donde la corriente eléctrica se mantiene siempre en la misma dirección aunque su magnitud cambie con el tiempo.

Debido a que utilizaremos pilas como fuentes de energía para nuestros circuitos echemos un vistazo más de cerca a estos dispositivos.

Las pilas en los circuitos eléctricos

Una pila es un dispositivo con dos terminales entre los cuales hay una diferencia de potencial (V). Cuando una pila forma parte de un circuito simple como el de la figura 1, se considera por convención que la corriente fluye desde el terminal con mayor potencial que está marcado como positivo, y la magnitud de la corriente dependerá del resto del circuito. En realidad los portadores de carga eléctrica (electrones) se mueven atraídos por el terminal positivo, pero como por convención se define que la corriente fluye desde el terminal positivo, es conveniente imaginar que son las cargas positivas las que se mueven desde el terminal positivo al negativo de la pila por el circuito externo.

Usted se preguntará ahora, por fin la pila es una fuente de fem como se dijo arriba, o de diferencia de potencial (voltaje) como se dice ahora, y la respuesta es: de ambos. Para entender la desigualdad entre fem y diferencia de potencial, pensemos en la pila como un dispositivo que gasta energía para "bombear" cargas eléctricas, y hagamos la comparación con un motor de combustión que mueve un automóvil. Nuestro motor convierte la energía química del combustible en energía mecánica, del mismo modo que la pila la convierte en energía eléctrica, sin embargo, no toda la energía química convertida en el motor en el interior de la cámara de trabajo se obtiene como energía mecánica neta a la salida del árbol motriz, una parte de ella se gasta en vencer las pérdidas por rozamiento en las piezas internas del motor y en otras pérdidas. Digamos que en este caso la "fem" del motor se obtiene sobre el pistón, mientras que a la salida del árbol motriz se obtiene el equivalente a su "diferencia de potencial".

La acción de "bombeo" de cargas que realiza la pila es la que da una definición precisa de fem, pero la pila tiene una resistencia interna, y cuando ella está colocada en un circuito poniendo cargas en movimiento, una parte de su "fuerza electromotriz" se pierde en su propia resistencia interna, de modo que lo que podemos medir entre sus terminales es una diferencia de potencial algo menor que la fem.

La unidad de fem, normalmente representada como ξ, es el voltio (o joules por coulomb), y muchas veces se usa a la ligera la palabra voltaje para referirse a la fem, que como hemos dicho, y demostraremos más abajo, son dos cosas diferentes.

Figura 2
Figura 2. Diagrama de circuito eléctrico mostrando la resistencia interna de la pila .

Analicemos ahora la influencia de la resistencia interna de la pila que llamaremos r, y utilicemos para el análisis el circuito simple de la figura 2.

Empecemos con el caso de una pila ideal sin resistencia interna. Supongamos que realizamos un viaje siguiendo la corriente a todo lo largo del bucle que forma el circuito partiendo del punto a. Como comenzamos y terminamos el viaje en el mismo punto, tendremos que el cambio de potencial neto al recorrer el lazo completo es igual a cero. Durante el tránsito por los alambres de conexión ideales (sin resistencia) no se produce cambio de potencial alguno. Al pasar del terminal negativo al positivo de la pila el potencial se incrementa en ξ. Más adelante, al recorrer la resitencia eléctrica R, según la ley de Ohm, se produce una caída de potencial en la cantidad IR, de modo que:

ξ - IR =      (ecuación 1)

Pasando el término -IR al otro lado de la ecuación:

ξ = IR      (ecuación 2)

Note que la ecuación 2 se corresponde plenamente con la ley de Ohm (V = IR), lo que significa que si la pila no tiene resistencia interna su fem y el voltaje entre los terminales son idénticos en todo momento.

Si ahora consideramos la resistencia interna de la pila r y hacemos el seguimiento de la corriente por el mismo procedimiento anterior llegamos a que:

ξ - Ir - IR = 0    (ecuación 3)

Es decir:

V = ξ - Ir     (ecuación 4)

Lo que significa que la diferencia de potencial entre los terminales de una pila puede ser diferente a su fem y esta diferencia es función de la corriente y de su resistencia interna. En dependencia de la dirección de la corriente, el voltaje entre los terminales de la pila puede ser menor o mayor que su fem, el voltaje será mayor cuando otra fuente de mayor fem haga circular la corriente por el interior de la pila de manera forzada desde el terminal positivo al negativo (lo que se denomina usualmente carga de la pila).

De la ecuación 4 se deduce que el voltaje entre los terminales de una pila se puede considerar igual a su fem cuando la resistencia interna es muy pequeña. Igualmente sucede cuando la resistencia de carga R es muy grande o no existe corriente alguna (circuito abierto).

Resistores en serie

Resistores en serie
Figura 3. (a) Resistores en serie, (b) resistor equivalente.


Los dispositivos construidos especialmente para usarse como resistencias eléctricas se les llama con frecuencia resistores y cuando forman parte de un circuito es común llamarlos resistencia (o resistor) de carga o simplemente carga. En la figura 3 se muestra un diagrama en el que dos resistores (R1 y R2) están conectados a una pila en el llamado circuito en serie. En tal circuito solo hay una vía para la corriente, las cargas eléctricas deben pasar por ambas resistencias y por la pila cuando recorren el circuito. De esta situación se desprende que la corriente es la misma en ambas resistencias ya que la carga eléctrica que pase por R1 también pasará por R2.

Si recorremos el circuito mostrado en la figura 3a partiendo de a, tendremos que al llegar a b se ha producido una caída de potencial igual a IR1, luego en el tramo b-c la caída es igual a IR2. Entonces desde a hasta c la caída de potencial total será:

V = IR1 + IR2      (ecuación 5)

Es posible sustituir los dos resistores por uno solo equivalente (figura 3b) y este resistor equivalente (Req) sería aquel que produzca la misma caída de potencial que las dos resistencias tomadas en conjunto, es decir:

V = IReq      (ecuación 6)

Igualando las ecuaciones 5 y 6 se obtiene que:

IReq = IR1 + IR2      (ecuación 7)

Dividiendo por I llegamos a que:

Req = R1 + R2      (ecuación 8)

Si extendemos este análisis a un circuito con varias resistencias en serie:

Req = R1 + R2 + R3 + . . .    (ecuación 9)

La resistencia equivalente de un circuito con varias resistencias en serie, es igual a la suma de las resistencias individuales.

Este resultado es muy fácil de entender por simple inspección ya que resulta totalmente lógico que si conectamos diferentes resistores extremo con extremo la corriente eléctrica encontrará diversas oposiciones a su paso que se suman, tal y como sucede en el caso de una manguera por la que fluye agua y le hacemos diversas restricciones consecutivas.

Resistores en paralelo

Figura 4
Figura 4. (a) Resistores en paralelo, (b) resitor equivalente .

Otra forma de conectar los resistores en los circuitos eléctricos es en paralelo. La figura 4a muestra tal conexión de dos resistores (R1 y R2). Note que cuando las resistencias están conectadas en paralelo, la diferencia de potencial es la misma entre los extremos de ambos resistores ya que el lado izquierdo de cada resistor está conectado a un punto común, el lado positivo de la pila (punto a en la figura 4) y el lado derecho de cada resistor está también conectado a un punto común, el lado negativo de la pila (punto b en la figura 4). No obstante, la corriente en cada resistor puede ser diferente en dependencia de la magnitud de su resistencia eléctrica. Las corrientes serán iguales solo si las resistencias eléctricas de todos los resistores conectados en paralelo son iguales.

Si seguimos el circuito partiendo de la pila tenemos que cuando llegamos al punto a (llamado un nodo)  la corriente I se divide en dos corrientes , I1 e I2. I1 va a través de R1 e I2 a través de R2. Si R1 es mayor que R2 entonces I1 será menor que I2 según dicta la ley de Ohm. Como las cargas eléctricas no pueden desaparecer, es decir se conservan, aquellas que llegan al nodo a son las mismas que lo abandonan, de modo que:

I  = I1 + I2     (ecuación 10)

La caída de potencial de las dos resistencias en conjunto debe ser igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la pila. Si aplicamos la ley de Ohm a cada una de las resistencias tenemos:

Ecuación 11
  (ecuaciones 11 y 12)

Usando también la ley de Ohm para el resistor equivalente que produzca la misma caída de potencial (figura 4b) nos da:

Ecuación 13
  (ecuación 13)

Si ahora sustituimos las ecuaciones 11, 12 y 13 en la ecuación 10 y dividimos por V llegamos a que:

Ecuación 14
  (ecuación 14)

Extendiendo la situación a más de dos resistores tenemos:

Ecuación 15
  (ecuación 15)

El inverso de la resistencia equivalente de un circuito con varias resistencias conectadas en paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias individuales.

Reglas de Kirchhoff

Hemos visto en lo tratado hasta aquí referente a resistores conectados en serie y en paralelo que en los circuitos simples, como los de las figuras 3 y 4, las múltiples resistencias eléctricas presentes en el circuito se pueden reemplazar por una resistencia equivalente. Sin embargo, esto no es siempre posible en los circuitos con resistores en combinaciones más complejas en los que el circuito no se puede reducir a simples resistores equivalentes. El tratamiento de tales circuitos más complejos se simplifica mucho utilizando dos reglas conocidas como reglas de Kirchhoff:
  1. Regla de los nodos: La suma de las corrientes que llegan a un nodo, entendiéndose como nodo cualquier punto del circuito donde la corriente se pueda dividir, es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.
  2. Regla de los bucles: La suma de las diferencias de potencial entre los extremos de cada elemento de un circuito que forme un lazo cerrado (bucle) será cero.

La primera regla es un enunciado de la ley de la conservación de las cargas (las cargas no se pueden fabricar ni desaparecer en el nodo), mientras que la segunda regla es un enunciado de la ley de la conservación de la energía, ya que las cargas eléctricas no pueden tener dos cantidades de energía diferentes en un mismo punto de un circuito. Una carga que parte de un punto y regresa al mismo punto en un bucle necesariamente tendrá que perder la misma cantidad de energía que gana en su trayecto por el bucle.

Figura 5
Figura 5. Reglas para determinar los cambios de potencial.

Figura 6
Figura 6. Un circuito con bucles múltiples.

La primera regla o regla de los nodos ya la hemos utilizado anteriormente sin nombrarla en el tratamiento de los resistores en paralelo lo que nos sirvió como base para encontrar el resistor equivalente. Por su parte para usar la segunda regla o regla de los bucles hay que tener en cuenta que la energía decrece en forma de caída de potencial -IR cuando se cruza un resistor y se gana cuando se cruza una fuente de fem en la dirección de la corriente (del terminal negativo al positivo por el interior de la pila).

Para aplicar las reglas de Kirchhoff a un circuito hay que tomar un par de decisiones previas:

1.- Simbolizar y darles una dirección a todas las corrientes que estén presentes en los diferentes bucles del circuito. Como en muchas ocasiones no se puede determinar por simple inspección la dirección de la corrientes en todas las ramas del circuito, usted escogerá una arbitrariamente sin preocupación. Si la dirección escogida fue incorrecta el resultado final mostrará un signo negativo, pero la magitud de la corriente será correcta.

2.-
Cuando se aplique la segunda regla, se debe escoger una dirección (a favor o en contra de las manecillas del reloj) para moverse por el bucle, y durante el trayecto calcule la caída y ganancia de potencial a medida que viaja apoyándose en lo siguiente:

   *.- Si se cruza un resistor en la dirección de la corriente, el cambio en potencial es -IR (figura 5a).
 
   *.- Si se cruza un resistor en sentido contrario a la corriente, el cambio de potencial es +IR (figura 5b).

   *.- Si se cruza una fuente de fem en la dirección de esta (del terminal - al +) el cambio de potencial es +ξ (figura 5c).

   *.- Si se cruza una fuente de fem en dirección contraria a esta, el cambio de potencial es -ξ (figura 5d).

Las dos reglas de Kirchhoff nos permiten determinar las magnitudes desconocidas en un circuito con múltiples bucles y para de mostrarlo utilicemos el circuito de la figura 6. Las corrientes fluyen entre todos los nodos de modo que tenemos las corrientes I1, I2 e I3 en las tres ramas separadas afed, da, y dcba, respectivamente. Podemos asumir las direcciones de las tres corrientes arbitrariamente, pero como veremos, las ecuaciones algebraicas nos servirán para determinar las magnitudes de las corrientes, pero si alguna de esas ecuaciones nos da un valor negativo para una o más de las corrientes, en realidad estas viajan en dirección opuesta al sentido asumido.

Apliquemos la regla de los nodos a los dos existentes en el circuito, puntos a y d y obtendremos:

Para el nodo a     I2 + I3 = I1       (ecuación 16a)

Para el nodo d     I1 = I2 + I3       (ecuación 16b)

Note que ambas ecuaciones son idénticas, lo que significa que en realidad, de la regla de los nodos surge una sola ecuación. Esta situación se presenta con frecuencia al aplicar la regla de los nodos, pero es mejor escribir todas las ecuaciones posibles y luego detectar cuales de ellas son las independientes.


Ahora necesitamos aplicar la regla de los bucles a cada uno de estos en el circuito. Para determinar la cantidad de bucles se puede utilizar el recurso nemotécnico de que: el número de bucles independientes presentes en un circuito es igual al número de perímetros cerrados (agujeros) en el circuito por los que se puede pasar el lápiz, de manera que el circuito en cuestión (figura 6) tiene dos bucles independientes. En realidad podemos considerar tres bucles en el circuito, si además de los dos rectángulos afed (bucle 1) y abcd (bucle 2) consideramos el bucle formado por todo el perímetro externo del circuito abcdef (bucle 3). Pero solo dos de los tres bucles posibles pueden ser independientes. Como nuestros bucles independientes podemos escoger dos cualquiera de los tres posibles. Pero antes de escogerlos vamos a aplicar la regla de los nodos a los tres bucles y demostrar que solo dos son independientes. Como el punto a es parte de los tres bucles, es conveniente comenzar por ahí utilizando la convención de signos convenidos arriba para los cambios de potencial. La resistencia interna de las fuentes de fem se desprecian. Recorreremos los bucles en sentido contrario a las manecillas del reloj como se ha señalado para dos de los bucles en la figura 6.

Para el bucle afec:        +I2R2 + I1R1 - ξ1 = 0        (ecuación 17a)

Para el bucle abcd:        -ξ2 + I3R3 - I2R2 = 0         (ecuación 17b)

    Para el bucle abcdef:   -ξ2 + I3R3 + I1R1 -ξ1 = 0      (ecuación 17c)  

De las tres ecuaciones anteriores solo dos son independientes, note que la tercera (ecuación 17c), es la suma de la primera (ecuación 17a) y la segunda (ecuación 17b).

Ahora, si tomamos una de las ecuaciones resultado de la regla de nodos (ecuaciones 16) y dos de la regla de bucles (ecuaciones 17), tendremos un total de tres ecuaciones para resolver las tres variables desconocidas, esto es, I1, I2 e I3.

Circuitos RC

Figura 7
Figura 7. Circuito RC.

figura 8
Figura 8.

Hasta ahora hemos tratado con circuitos con corrientes constantes, pero a continuación consideraremos los circuitos de corriente directa en la que participan condensadores y en los cuales la corriente cambia con el tiempo. Usemos para el análisis el circuito que se muestra en la figura 7 donde están conectados en serie un pila, una resistencia, y un condensador. Este tipo de circuito que involucra a resistencias y condensadores se les conoce como circuitos RC.

Comencemos con el condensador descargado y sin corriente en el circuito debido a que el interruptor (S) está abierto (figura 7a). Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0 comenzará a circular la corriente por la resistencia R y se iniciará la carga del condensador C (figura 7b). Note que la corriente eléctrica no se establece por tiempo indefinido dada la separación de las placas del condensador que representan un circuito abierto.

La transferencia de cargas termina cuando la diferencia de potencial entre las placas del condensador se iguala con la fem de la pila ξ, es decir cuando se alcance la carga máxima posible del condensador, la que por definición es Q = . Una vez que se alcance la carga máxima en el condensador la corriente I se hace cero.

Se ha determinado que la carga en el condensador se incrementa con el tiempo de la forma mostrada en la figura 8a. Note que la carga es cero al tiempo t =0 y que la carga es máxima () cuando el tiempo se hace infinito. Por su parte la figura 8b muestra que la corriente en el circuito es función del tiempo.

Como el condensador está descargado al tiempo t = 0 el único elemento que se opone al flujo de la corriente es el resistor R, por lo tanto, la corriente en el circuito al tiempo t = 0 responde a la expresión I0 = ξ/R. La corriente luego decrece a cero cuando el tiempo alcanza el infinito (figura 8b). Se requiere de métodos complejos de cálculo que no mostraremos aquí para determinar la carga del condensador y la corriente en el circuito con respecto al tiempo así que nos limitaremos a presentar las expresiones de cálculo:

q = (1 - e-t/RC     (ecuación 18)

I = (ξ/R) (e-t/RC)       (ecuación 19)

Donde e es la base del logaritmo natural e igual a 2.718.

Las ecuaciones 18 y 19 muestran que tanto la corriente como la carga del condensador con respecto al tiempo dependen del producto RC que se denomina constante de tiempo y se representa como τ (letra griega tau). La unidad de τ es la unidad de tiempo, si R y C están en unidades del SI entonces τ estará en segundos. La constante de tiempo determina cuan rápido crece la carga de un condensador y disminuye el valor de la corriente inicial en un circuito RC; para valores menores de RC la carga del condensador y la corriente en el circuito disminuyen más rápido con respecto al tiempo, mientras que para RC grandes ambos cambiarán más lentamente. Note que de las ecuaciones 18 y 19 cuando el tiempo alcanza el valor RC la corriente ha caído a e-1 ≃ 0.37 veces el valor original. Después de este mismo período de tiempo el condensador estará a (1 - e-1) ≃ 63% de la carga completa. Por lo mismo tendrá el 86% a 2τ y el 95% a 3τ. Lo que indica que aunque el condensador demore un tiempo infinito en cargarse completamente, este tendrá una fracción sustancial de la carga en un tiempo muy breve.

Figura 9
Figura 9. Circuito para cargar y descargar un condensador.

Veamos ahora el proceso de descarga del condensador. Supongamos que el permutador de la figura 9 ha estado cerrado en la posición a por largo tiempo y que el condensador está completamente cargado por lo que no hay corriente en el circuito. Al tiempo t = 0 movemos el interruptor a la posición b, ahora solo el condensador descargándose y la resistencia están en el circuito. Si llamamos q0 a la carga inicial del condensador (carga máxima en este caso) el valor de la carga con respecto al tiempo responde a la expresión:

q = q0 e-t/RC      (ecuación 20)

Lo que indica que la carga en el condensador disminuye exponencialmente con respecto al tiempo de acuerdo a la constante de tiempo RC, y, que en un largo tiempo resultará totalmente descargado.

Igualmente la corriente en el circuito se calcula según:

  (ecuación 21)

Note que la corriente es máxima a t =0 cuando su magnitud es q0/RC = ξ/R y después de largo tiempo alcanzará el valor 0.



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