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Ecuación de Bernoulli


En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli determinó la expresión matemática fundamental que vincula  la presión con la velocidad y la altura de un fluido que circula por un tubo. A esta expresión se le conoce como Ecuación de Bernoulli y ella en sí misma no constituye una ley independiente de la física, es, en su lugar, una consecuencia de la ley de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal.

Antes de entrar en el tema debemos aclarar algunos conceptos que serán utilizados en el artículo, y estos son:

1. -Lineas de corriente: Para muchas aplicaciones resulta conveniente considerar el flujo total del fluido en movimiento como un manojo de corrientes muy finas (infinitesimales) que fluyen paralelas. Estas corrientes, que recuerdan hilos, se conocen como lineas de corriente.

2.- Flujo laminar: Cuando las lineas de corriente de un flujo nunca se cruzan y siempre marchan paralelas se le llama flujo laminar. En el flujo laminar siempre las lineas de corriente marchan en la misma dirección que la velocidad del flujo en ese punto.

3.- Flujo turbulento: En el flujo turbulento el movimiento del fluido se torna irregular, las lineas de corriente pueden cruzarse y se producen  cambios en la magnitud y dirección de la velocidad de estas.

4.- Viscosidad: Este término se utiliza para caracterizar el grado de rozamiento interno de un fluido y está asociado con la resistencia entre dos capas adyacentes del fluido que se mueven una respecto a la otra.

Entrando en la ecuación de Bernoulli

Para deducir la ecuación de Bernoulli debemos partir de que el fluido mantiene las condiciones siguientes:

1.- El fluido es incompresible.

2.- La temperatura del fluido no cambia.

3.- El flujo es laminar. No turbulento

4.- No existe rotación dentro de la masa del fluido, es un flujo irrotacional.

5.- No existen pérdidas por rozamiento en el fluido, es decir no hay viscosidad.

figura 1
Figura 1. Un fluido circulando por un tubo de sección variable y flujo laminar.

Consideremos ahora el flujo a través de un tubo no uniforme durante un tiempo Δt como se muestra en la figura 1. La fuerza (F) en la parte baja del tubo es P1A1 donde P1 es la presión y A1 es el área de la sección en esa región del tubo. El trabajo realizado por el fluido colocado detrás de un anillo de fluido para desplazarlo la distancia Δx1 en la parte baja del tubo es:

W1 = F1 Δx1 = P1A1Δx1 = P1    (ecuación 1)

Donde V es el volumen de la región verde de la figura 1.

De la misma manera, el trabajo hecho sobre el fluido en la porción alta del tubo en el mismo tiempo Δt es:

 W2 = -P2A2Δx2 = -P2V      (ecuación 2)

Note que como hemos considerado el fluido incompresible el volumen de fluido que circula a través de A1 en el tiempo Δt es igual al que lo hace a través de A2 en el mismo tiempo. Observe también que el trabajo W2 es negativo debido a que la fuerza en el fluido en la parte alta del tubo se opone a su desplazamiento.

El trabajo neto hecho por esas fuerzas en el tiempo Δt es:

W = P1V - P2V     (ecuación 3)


Parte del trabajo neto realizado ha cambiado la energía cinética del fluido y parte se ha utilizado para cambiar su energía potencial gravitacional al ganar en elevación. Si m es la masa que pasa por dentro del tubo en el intervalo de tiempo Δt, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es:

 ΔEc = ½mv22 - ½mv12      (ecuación 4)

Y el cambio en la energía potencial es:

ΔEp = mgy2 - mgy1     (ecuación 4)

Si aplicamos ahora el teorema trabajo-energía en la forma W = ΔEc + ΔEp a este volumen de fluido y sustituimos los valores correspondientes tenemos que:

 P1V - P2V = ½mv22 - ½mv12 + mgy2 - mgy1    (ecuación 5)

Si dividimos ambos lados de la ecuación 5 por V; tenemos en cuenta que la densidad ρ = m/V y reagrupamos los términos de modo que aquellos referidos al punto 1 estén de un lado de la ecuación y los referidos al punto 2 estén en el otro, obtenemos la ecuación de Bernoulli:

P1 + ½ρv12 + ρgy1 = P2 + ½ρv22 + ρgy2        (ecuación 6)

La que puede expresarse también como:

P1 + ½ρv2 + ρgy = constante       (ecuación 7)

En palabras, la ecuación de Bernoulli dice que:

La suma de la presión (P), la energía cinética por unidad de volumen (½ρv2) y la energía potencial por unidad de volumen (ρgy), tiene el mismo valor a todo lo largo de una corriente fluida.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

Una importante consecuencia de la ecuación de Bernoulli es el tubo Vénturi descrito en el artículo Efecto Vénturi.

Flujo desde un tanque

figura 2
Figura 1. Escape de fluido a través de un orificio en un tanque.

Otro fenómeno interesante de importancia práctica es la rapidez con la que fluye un líquido por una abertura en un tanque. Si consideramos un tanque abierto a la presión atmosférica, con un líquido de densidad ρ lleno hasta una altura h por encima de un orificio lateral perforado a la altura y1 medida desde el fondo del tanque (figura 2), la rapidez con la que el líquido abandona el orificio se puede calcular con el uso de la ecuación de Bernoulli.

Para la solución del problema asumimos que el área de la sección transversal del tanque es tan grande comparada con el área de la sección transversal del orificio (A2 >> A1) de modo que el nivel del fluido cae tan lentamente que podemos considerar v2 ≈ 0. Ahora sustituimos en la ecuación de Bernoulli teniendo en cuenta que la presión en ambos extremos es Pa, es decir, la presión atmosférica.

Pa + ½ρv12 + ρgy1 = Pa + ρgy2

expresión

Sustentación

El efecto Bernoulli es finalmente el responsable de la fuerza que sostiene los aviones en el aire o fuerza de sustentación. El tema de la fuerza de sustentación se ha tratado en artículo aparte y puede ganar acceso a él aquí.


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