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Principio de incertidumbre

Cuando se realizan mediciones de una magnitud, es siempre deseable, y se busca a toda costa, que el aparato de medición no modifique sustancialmente la magnitud a medir, y aunque este efecto negativo se reduce a despreciable en la inmensa mayoría de las mediciones en el mundo que nos rodea si estas se hacen adecuadamente, teóricamente siempre está presente. Por ejemplo, si se va a medir el voltaje de un circuito eléctrico, el aparato que mide, un voltímetro, tiene una resistencia eléctrica lo más elevada posible a fin de que no introduzca caída de voltaje apreciable en el circuito de medición. Contrariamente, si lo que se quiere medir es la corriente, el aparato de medición, un amperímetro, tiene la menor resistencia eléctrica posible para que no se convierta en un freno a la corriente y muestre una medición falsa de la corriente real del circuito cuando el amperímetro no está presente. Lo mismo sucede con todas las mediciones, no importa la magnitud que sea. Lo que nos permite enunciar que:

De acuerdo a la mecánica clásica es posible, al menos en principio, hacer una medición con una precisión arbitrariamente pequeña o con exactitud infinita.

De acuerdo a lo anterior si usted quiere medir la posición y la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo lo puede realizar tratando de reducir experimentalmente al mínimo la incertidumbre en la medición sin que la mecánica clásica establezca una barrera en el refinamiento del aparato o el procedimiento experimental hasta lograr, en teoría, una exactitud infinita.

La mecánica cuántica modifica el postulado anterior en la medición de ciertas magnitudes al predecir que:

Es imposible hacer mediciones simultáneas de la posición de una partícula y su velocidad con exactitud infinita.

Este enunciado fue establecido por Werner Heisemberg en 1927 lo que le condujo al premio Nobel en 1932, y se conoce como principio de incertidumbre o relación de indeterminación de Heisenberg.

El principio de incertidumbre se enuncia más comúnmente en dos formas:

1.  De acuerdo a la incertidumbre en la relación posición-cantidad de movimiento:

Cualquier intento para localizar una partícula dentro de una distancia Δx, necesariamente limita la determinación simultánea de la componente de la cantidad de movimiento de la partícula en la dirección x a una incertidumbre Δpx, y tales incertidumbres están relacionadas por:

Δx Δpx > h/4π      (relación 1)

Donde h es la constante de Planck (6.63 x 10-34 J · s).

2.  De acuerdo a la incertidumbre en la relación tiempo-energía:

Si se lleva a cabo una medición de la energía en un tiempo Δt, entonces la precisión ΔE con la cual la energía puede ser medida durante este intervalo de tiempo está limitada por:

ΔE Δt > h/4π     (relación 2)


El valor tan pequeño de la constante de Planck  (6.63 x 10-34 J · s) establece la escala a la que el principio de incertidumbre es importante. Ese valor garantiza que el principio de incertidumbre solo sea importante a escala atómica. Por ejemplo, si conocemos la ubicación de una partícula de polen con una exactitud de 10-10 m, el principio de incertidumbre restringe la precisión de la medición simultánea de la cantidad de movimiento de la partícula a una magnitud en el orden de 10-28 kg · m/s. Evidentemente, tal magnitud en la incertidumbre de la cantidad de movimiento es tan diminuta que no es comparable con la imperfección de los aparatos usados en la medición, por lo que no tiene valor práctico. Partiendo del ejemplo anterior podemos generalizar diciendo que el principio de incertidumbre no juega rol alguno en el mundo de los objetos que nos rodean, aviones, pelotas e incluso en los granos de polvo.

Si nos enfocamos ahora en los electrones en un átomo o en los protones en un núcleo atómico la situación cambia radicalmente. El diámetro de un átomo está en el orden de 10-10 m y la masa (m) de un electrón esta alrededor de 10-30 kg. Como el electrón se mueve típicamente a una velocidad (v) de unos 106 m/s su cantidad de movimiento, de acuerdo a la mecánica clásica,  p = mv, será de unos 10-28 kg · m/s. Pero según el principio de incertidumbre si tratamos de precisar la posición de un electrón dentro de un rango del 10% del diámetro del átomo (Δx ≃ 10-11 m) entonces la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón estará en el orden de 10-23 kg · m/s, lo que representa una cantidad 10 veces mayor que la que calculamos para el electrón en su órbita desde el punto de vista clásico. Se desprende entonces, que la relación de indeterminación de Heisemberg es tan importante en los átomos y los núcleos, que la cantidad de movimiento Newtoniana es un concepto que debe utilizarse con cuidado.

figura 1a

figura 1b

figura 1c
Figura 1. Esquema del aparato para describir el principio de incertidumbre.

Tratado de manera simplificada el principio de incertidumbre esencialmente dice que: con partículas tan pequeñas como el electrón es imposible saber en tiempo real donde está y hacia donde se dirige y que mientras más exactitud se use en la determinación de donde está, menos podrá saber hacia donde va en el próximo instante. Este principio entra en franca contradicción con la física clásica, en la cual, si usted determina la posición de un objeto un tiempo antes y otro después puede predecir donde estará en un tercer tiempo más adelante

Tratemos de entender físicamente el principio de incertidumbre con el ejemplo siguiente, en el que se comparan los resultados observados en la determinación de la posición y la cantidad de movimiento de dos casos, el primero utilizando granos de polen, y el segundo usando electrones. El experimento se realiza en una instalación como la que se muestra esquemáticamente en la figura 1a en la que aparece un cañón hipotético que puede "disparar" cualquier tipo de partículas. El cañón apunta directamente a un receptor tubular de partículas cuyo fondo emite un destello luminoso cada vez que recibe el choque de una partícula. Colocado entre el cañón y el receptor existe un detector de la posición de la partícula que utiliza un haz de luz (fotones) perpendicular a la trayectoria de la partícula para su trabajo, como puede verse en la figura 1b y 1c. Los fotones son emitidos uno a uno por la fuente de luz y cada fotón choca y se refleja en una partícula en movimiento sirviendo como señal para que el detector de luz defina la posición de la partícula con una exactitud de 10-10 m.

En ausencia del detector de posición (la fuente de luz apagada) tanto los granos de polen como los electrones mantienen la trayetoria impuesta por el cañón y chocan con el fondo del receptor produciendo los correspondientes destellos luminosos. Pero ¿qué pasa cuando se pone en marcha la fuente de luz para alimentar el detector de posición?

Si el cañón se carga con granos de polen (figura 1b) de masa 10-6 kg los fotones chocan y se reflejan en los granos de polen con el correspondiente intercambio de energía y cantidad de movimiento entre ambos. Sin embargo, la adición de la energía del fotón a tal partícula "pesada" prácticamente no perturba su trayectoria, lo que implica que es despreciable el cambio que se produce en la cantidad de movimiento del grano y los destellos luminosos se siguen observando en el receptor.

Una situación muy diferente se tiene cuando el cañón se carga con electrones de masa 10-30 kg. Ahora, durante el choque del fotón con el electrón, este le transfiere una parte o toda su energía y cantidad de movimiento al electrón, modificando en gran medida la trayectoria de la partícula "ligera", con la consecuencia de que los destellos en el fondo del receptor pueden dejar de de observarse. Es decir, conocemos el instante delo "disparo" y el instante en el que es detectado por el haz luminoso, pero no podremos saber donde estará en un tercer tiempo después.



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