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Contenido del artículo
Flujo del campo eléctrico
Superficie gaussiana
Ley de Gauss

figura 1
Figura 1. Un marco de alambre en la corriente de un río.



Flujo del campo eléctrico y ley de Gauss

Para poder llevar correctamente el hilo de este artículo resulta necesario saber que es el campo eléctrico y su representación a través de las lineas de fuerza.

Flujo de campo eléctrico

El concepto de flujo de campo eléctrico es en esencia el mismo concepto de flujo de un fluido pero aplicado al campo eléctrico. Para entender utilicemos el ejemplo del flujo del agua en un río de corriente calmada en la que asumimos que el agua se mueve de forma suave y con velocidad uniforme horizontalmente. Consideremos ahora que colocamos un marco de alambre que forma un área cuadrada de magnitud A = L2. La cantidad de agua que pasará por dentro del lazo de alambre por unidad de tiempo dependerá de su orientación con respecto a la corriente del agua. Si el marco está orientado perpendicular a la corriente (figura 1a), el volumen de agua que circula por su interior en 1 segundo y que denominaremos Φa será:

Φa = vL2 = vA     (ecuación 1)
 
La magnitud Φa, es decir, el volumen de agua que fluye a través del lazo de alambre en la unidad de tiempo es el flujo de agua. Ahora, si inclinamos el marco de alambre un ángulo θ con respecto a la vertical (figura 1b) se reduce la cantidad de agua que pasa por su interior debido a que la dimensión vertical de la cara del lazo que enfrenta la corriente se reduce de L, a L cosθ. Por lo tanto el flujo disminuye a:

Φa = vL2 cosθ = vA cosθ      (ecuación 2) 

Existe una similitud entre el flujo de agua descrito y el flujo de campo eléctrico, y la similitud puede verse si comparamos las lineas de corriente del agua (azules en la figura 1) con las lineas de fuerza de un campo eléctrico que penetra un plano equivalente al lazo de alambre penetrado por las lineas de corriente de agua. Partiendo de esto, podemos extender el concepto de flujo de agua y aplicarlo al campo eléctrico para definir el flujo de campo eléctrico ΦE como:

 ΦE EA*       (ecuación 3)

* Se usa el símbolo para indicar que es una definición.

Donde E es la intensidad del campo eléctrico y A el área considerada perpendicular a este campo.

La similitud entre el flujo de agua y el de campo eléctrico no es perfecta, mientras agua en movimiento es la que pasa a través del aro de alambre, el campo eléctrico no representa nada que tenga movimiento, de modo que el flujo de campo eléctrico es un "flujo" inusual ya que nada "fluye" físicamente. Además, usualmente la superficie de referencia para calcular el flujo de campo eléctrico es imaginaria, de acuerdo a la conveniencia y ningún cuerpo tiene la forma de la superficie.

En el artículo sobre el campo eléctrico quedó claro que la densidad de las lineas de fuerza que pasan por una superficie (A) perpendicular a las lineas está en dependencia directa con la intensidad del campo eléctrico E. Si suponemos que E es constante en toda el área superficial y N el número de lineas de fuerza que la atraviesan entonces podemos decir que:

E ∝ N/A         (ecuación 4)

Despejando N de la ecuación 4.

N ∝ EA      (ecuación 5)

El término EA es igual al flujo de campo eléctrico por definición, según la ecuación 3, de modo que finalmente podemos establecer que:

El flujo de campo eléctrico a través de una superficie es proporcional al número de lineas de fuerza que atraviesan la superficie.

Superficie gaussiana

Antes de entrar a describir la ley de Gauss debemos entender un concepto crucial, la superficie gaussiana. La superficie gaussiana es una superficie cerrada, usualmente imaginaria, en la que debemos determinar el flujo de campo eléctrico. Tal superficie puede tener la forma de una esfera, o un cilindro, o cualquier otra forma.

Como sabemos, el campo eléctrico se representa a través de las lineas de fuerza de modo que debemos establecer una convención importante para su uso en la determinación del flujo de campo eléctrico y esta es:

El flujo de campo eléctrico es negativo para la parte de la superficie en la que las lineas de fuerza entran a la superficie cerrada y positivo donde las lineas de fuerza salen de la superficie.

figura 2
Figura 2. Las lineas de fuerza perforan el área cerrada y el flujo del campo eléctrico total es cero en la superficie.

Teniendo en cuenta esta convención el flujo de campo eléctrico en la superficie gaussiana con forma de pera mostrada en la figura 2 es cero, debido a que todas las lineas que entran a la superficie (flujo negativo) salen de la superficie (flujo positivo) y sus valores se cancelan mutuamente. Tenga en cuenta, como se aclaró arriba, que el flujo de campo eléctrico no representa nada en movimiento y no puede razonarse de forma similar a un "fluido" que atraviesa la superficie.

Ya sabemos del artículo sobre el campo eléctrico que también por convención se considera que las lineas de fuerza nacen en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas y solamente las cargas pueden ser el principio y el fin de las lineas de fuerza, de modo que si tenemos una superficie gaussiana que no envuelve carga eléctrica alguna entonces no existen lineas de fuerza que se originen o terminen dentro de la superficie, lo que implica que todas las lineas de fuerza que entran a la superficie deben salir de ella y por tanto el flujo de campo eléctrico en tal superficie es cero. Esta situación nos permite enunciar un postulado esencial:

Si no hay cargas dentro de la superficie cerrada, el flujo de campo eléctrico en la superficie es cero.

Cuando se habla de carga dentro de la superficie gaussiana se habla de carga neta, de modo que si el valor de la carga neta dentro de la superficie es cero el flujo de campo eléctrico también será cero. Volvamos al ejemplo del río para ilustrar. Supongamos que colocamos una cesta de malla dentro del río, y que dentro de la cesta hay dos mangueras, una que vierte agua a un ritmo y otra que succiona agua al mismo ritmo. La corriente del río es equivalente a un campo eléctrico externo análogo al de la figura 2, que ya vimos que no produce flujo de campo eléctrico en la superficie cerrada (ahora la cesta). El extremo de la manguera que vierte agua dentro de la cesta es equivalente a una carga eléctrica positiva, y el extemo de la manguera que succiona el agua es análoga a una carga eléctrica negativa de la misma magnitud. De nuevo, toda el agua que entra a la región encerrada por la cesta sale de ella y el flujo de agua en la cesta es cero. De la misma manera, si una superficie cerrada envuelve la misma cantidad de carga negativa que positiva, entonces la carga neta es cero y el flujo de campo eléctrico en la superficie es cero.

Ley de Gauss


La ley de Gauss describe la relación general entre el flujo de campo eléctrico en una superficie cerrada y la carga eléctrica neta encerrada por la superficie. En el artículo campo eléctrico quedó claro que la cantidad de lineas de fuerza que emanan o entran a una carga es proporcional a la magnitud de la carga, y como el flujo de campo eléctrico en una superficie es proporcional al número de lineas de fuerza que atraviesan la superficie  tendremos que: el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada que envuelve una carga neta Q, es proporcional al valor de Q:

 ΦE Q     (ecuación 6)

La constante de proporcionalidad entre el flujo y la carga Q en un espacio abierto es 1/ε0 donde ε0 se conoce como permitividad del espacio abierto (en vacío) y tiene el valor:

 ε0 = 1/4πk      (ecuación 7)

Donde k es la constante de Coulomb (~ 9 X 109 N · m2 /C2)* por lo que:

 ε0 = 1/4π(9 X 109) = 8.85 X 10-12  C2/N · m2

* C es la velocidad de la luz.

Finalmente sustituyendo el símbolo de proporcionalidad en la ecuación 7 por el valor de k tendremos la expresión de la ley de Gauss:

 ΦE = Q/ε0

Dicho con palabras la ley de Gauss expresa:

El flujo de campo eléctrico en cualquier superficie gaussiana es igual a la carga eléctrica neta dentro de la superficie divida por la permitividad.

Si lo que envuelve la superficie cerrada es una única carga puntual q, entonces la ley de Gauss simplemente establece que:

 ΦE = q/ε0

figura 3

Figura 3. La misma cantidad de lineas de fuerza perforan cada superficie.

La simplicidad de esta afirmación conduce al hecho de que cuando una superficie cerrada envuelve una carga puntual, el flujo de campo eléctrico es independiente de la forma y la dimensión de la superficie, por lo que será de la misma magnitud para una esfera de cualquier radio, esté la carga puntual en el centro de la esfera o fuera del centro, pero para ir más lejos, será de la misma magnitud para cualquier superficie regular o irregular. La razón es fácil de entender, ya que el flujo de campo eléctrico es proporcional al número de lineas de fuerza que pasan por la superficie, y como estas lineas de fuerza nacen o terminan en la carga, obligatoriamente la cantidad de lineas de fuerza que atravesarán la superficie cerrada considerada será igual, con independencia de la forma o tamaño de la superficie que envuelve la carga (figura 3).



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