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Magnitudes relativistas

Los postulados de Einstein y su repercusión en los conceptos de tiempo y espacio constituyeron una verdadera revolución en la física durante el primer tercio del siglo XX, resultando a la postre, en lo que se ha llamado teoría de la relatividad, o relatividad especial, en alusión a su diferencia con la relatividad clásica. En esencia, la teoría de la relatividad constituyó una generalización de la mecánica de Newton que extendía a todos los movimientos, con independencia de la velocidades involucradas, las leyes newtonianas, la que fallaba cuando trataba de explicar los fenómenos en los que la velocidad del objeto considerado se acercaba a la velocidad de la luz.

Las primeras consecuencias de esta teoría revolucionaria fueron que  había que abandonar la vieja concepción de que el tiempo y el espacio eran magnitudes absolutas y sustituirlas por magnitudes que necesariamente cambiaban en dependencia del marco de referencia que se use para medirlas. Pues bien, los cambios revolucionarios no se limitan solo al tiempo y al espacio, también otras magnitudes físicas se deben ver desde el punto de vista relativista y en este artículo abordaremos las definiciones de masa, cantidad de movimiento y energía, así como la suma de velocidades desde el punto de vista relativista. Estas definiciones generalizadas se reducen a las definiciones clásicas (no relativistas) cuando la velocidad de objeto en cuestión, v,  es mucho menor que la velocidad de la luz, c.

Masa y velocidad final

Lo mismo que el tiempo y el espacio se puede esperar que la magnitud de la masa de un objeto dependa del marco de referencia desde el cual se mida, esto es, la masa debe ser también una magnitud relativista. Einstein mostró, de hecho, que la masa observada de un objeto crece con la velocidad de acuerdo a la expresión:


(ecuación 1)

Donde m es la masa de un objeto medida por un observador que se mueve a la velocidad v, y m0 es la masa medida por un observador en reposo con respecto al objeto. Note que m0 es la masa "clásica" intuitiva e inercial que tienen los objetos que nos rodean en el macromundo, en el cual es considerada una magnitud inherente a un objeto y que no está afectada por su movimiento. A esta masa le llamaremos masa en reposo del objeto. La ecuación 1 nos dice para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz, que son las velocidades del macromundo que nos rodea, la ecuación 1 se convierte en :

m = m0

De la ecuación 1 se desprende que la velocidad final de un objeto que acelera es la velocidad de la luz. Observe que a medida que aumenta la velocidad del objeto su masa se incrementa al ser el denominador cada vez más pequeño, lo que implica que la fuerza necesaria, según la segunda ley de Newton, para mantener la aceleración crece correspondientemente, cuando se alcanza el valor extremo de que v = c el denominador se hace cero y por lo tanto la masa alcanza una magnitud infinita. Esto último significa que se necesita una fuerza infinita, y con ello una cantidad de energía infinita para llevar el objeto a la velocidad de la luz, por lo tanto la velocidad de la luz es la velocidad final o límite que puede alcanzar un objeto material.

Cantidad de movimiento relativista

La ley de la conservación de la cantidad de movimiento establece que durante el choque de dos objetos, la cantidad de movimiento del sistema se mantiene constante cuando se considera que el choque es perfectamente elástico y los objetos están aislados, es decir, ambos interactúan solamente entre ellos.


Cuando se analiza la colisión entre dos objetos desde el punto de vista de la relatividad de Einstein se puede apreciar que la cantidad de movimiento no se conserva si se usa la expresión clásica de cálculo de la cantidad de movimiento:

p = mv        (ecuación 2)

En la ecuación 2 la masa se considera constante con independencia de la velocidad y de acuerdo a lo tratado en el punto anterior esto no es cierto. Sin embargo, para las situaciones "normales" que nos rodean las velocidades de los objetos que chocan son muy bajas comparadas con la velocidad de la luz de modo que la ecuación 2 equivale a:

p = m0v       (ecuación 3)

Como el primer postulado de Einstein dice que:

Las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales de referencia.

La cantidad de movimiento debe conservarse en todos los sistemas, por lo que en vistas de esta condición, resulta necesario modificar la definición de cantidad de movimiento y la ecuación relativista correcta de cantidad de movimiento es:


(ecuación 4)*

* Se usa el símbolo para indicar que es una definición.

Donde m0 es la masa en reposo del objeto y v su velocidad. Note que si v << c la ecuación relativista 4 se convierte en la ecuación clásica 3.

Suma de velocidades relativista

Hagamos la suposición hipotética de que un avión de guerra supersónico vuela a una velocidad de 0.8c con respecto a un observador estacionario en tierra y que en pleno vuelo dispara un cohete en la misma dirección de su vuelo a la velocidad 0.7c con respecto al avión. Atenidos a la suma de velocidades clásica newtoniana la velocidad del cohete, que se observa desde tierra, debe ser 0.8c + 0.7c = 1.5c. Pero como hemos dicho arriba la velocidad límite de cualquier objeto es la velocidad de la luz, lo que combinado con el segundo postulado de Einstein que dice:

La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, con independencia de su movimiento o del movimiento de la fuente.

Nos lleva a la conclusión de que el cálculo anterior es incorrecto y debe usarse otra forma general de calcular la suma de velocidades.

Einstein resolvió la situación indicando una expresión relativista de la suma de velocidades:


(ecuación 5)

Donde u es la velocidad de un objeto visto desde un cierto marco de referencia; u' es la velocidad del mismo objeto visto desde un marco de referencia diferente; y v es la velocidad relativa entre el marco de referencia en el cual se ha medido u' con respecto al otro marco de referencia. Para el caso hipotético descrito del avión, la velocidad de este con respecto al observador estacionario es v =0.8c. La velocidad del cohete en el marco de referencia del avión es u'= 0.7c. Resolviendo la ecuación 6 con esos valores de v y u' se obtiene que la velocidad u del cohete con respecto al observador en tierra es 0.96c.

Energía relativista

De la misma forma que la definición de cantidad de movimiento debió modificarse para hacerla generalizada y compatible con los principios de la relatividad, la energía cinética de un cuerpo en movimiento también requiere una nueva definición de generalización, y aunque a primera vista este resultado se puede obtener sustituyendo la magnitud de la masa relativista de la ecuación 1 en la definición clásica de energía cinética ½mv2 esto no es correcto, debido a que, como el mismo Einstein apuntó en sus trabajos, existe un vínculo estrecho entre masa y energía, de manera que ambos conceptos son intercambiables lo que da un giro importante al tratamiento de la energía en general, y a la energía cinética en particular.

Partiendo de esta nueva concepción relativista que vincula la masa y la energía, Einstein señaló que la expresión correcta para la energía cinética Ec es:

Ec = mc2m0c2         (ecuación 6)

El término m0c2, que como sabemos no depende del movimiento, se le llama energía en reposo (es la energía contenida en la masa) del objeto. El término mc2 que depende de la velocidad del objeto es por lo tanto la suma de la energía cinética y la energía en reposo constituyendo así la energía total del objeto E. Es decir:

E = mc2 = Ec + m0c2        (ecuación 7)

La ecuación 7 es la famosa ecuación de equivalencia entre masa y energía de Einstein.

Si usamos la equivalencia entre masa en reposo m0 y masa en movimiento m indicada en la ecuación 1 podemos llegar a que la energía total en función de la masa en reposo puede expresarse como:


(ecuación 8)

Las ecuaciones 7 y 8 muestran claramente la relación entre masa y energía y de ella podemos concluir que:

La masa es una forma de la energía

Pero además, de ellas se desprende que para una cantidad de masa, por pequeña que sea, corresponde una gigantesca cantidad de energía, dado a que la masa está multiplicada por la enorme velocidad de la luz al cuadrado.

También se pueden relacionar la energía total E y la cantidad de movimiento relativista, p, usando las expresiones E = mc2 y p = mv. Sin entrar en deducciones matemáticas estas dos magnitudes se relacionan por:

E2 = p2c2 + (m0c2)2

Note que cuando el objeto está en reposo p = 0 por lo que E = m0c2 lo que corresponde con la definición de la energía total del objeto en reposo.



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