home
sabelotodo
logo
entrar
comentario
colaborar

Movimiento armónico simple


Los movimientos rítmicos son parte del mundo físico que nos rodea, nos son eventos muy familiares. En efecto, observamos con frecuencia que ciertos movimientos se repiten en el tiempo con exactitud de forma regular por si mismos. Por ejemplo, los latidos del corazón, la sucesión de los días y las noches debido a la rotación de la Tierra y otros muchos. Los movimientos mas simples y básicos que se producen una y otra vez de forma rítmica en el mundo físico se llaman armónicos. Son movimientos armónicos los que desarrolla un objeto que oscila colgado de un resorte y la oscilación de un péndulo. Se puede definir un movimiento harmónico simple como aquel, en el que la posición de un punto varía con el tiempo como una función seno o coseno. En este tipo de movimiento la posición del punto se produce como un adelante-atrás, por lo que es fácil darse cuenta de que su velocidad cambia constantemente, primero se mueve en una dirección, para detenerse al final de su "carrera" y luego se mueve en dirección contraria hasta el otro extremo del ciclo, donde se detiene de nuevo y comienza a repetir el desplazamiento anterior. Esto implica necesariamente que en el movimiento harmónico simple hay una velocidad que cambia con el tiempo y por lo tanto está presente una aceleración. Como la posición del punto tiene una dependencia sinusoidal con el tiempo, su aceleración también tendrá esa misma dependencia; y si hay aceleración, también estará presente una fuerza, ya que como sabemos la aceleración está siempre relacionada con una fuerza que la produce. La fuerza del resorte, al que hemos hecho referencia arriba, es un ejemplo de esta fuerza. Note que hemos definido el movimiento harmónico simple, que es el interés de este artículo, pero siguen siendo armónicos, aquellos que tienen una dependencia del tiempo diferentes a puro seno o coseno, lo que ya no caen en la categoría de simples.

Propiedades del movimiento harmónico simple

Para entender mejor el movimiento harmónico simple vamos a ilustrar ahora su comportamiento y definir algunos de los conceptos relacionados, utilizando ejemplos prácticos que podemos encontrar en el mundo que nos rodea. Empezaremos con una masa que oscila en el extremo de un resorte.

Una masa oscilando en un resorte

Movimiento harmónico simple
 Figura 1.

Usemos el esquema mostrado en la parte superior de la figura 1 para ilustrar las propiedades de un movimiento harmónico simple. En él se representa un cuerpo de masa m suspendido y solidario a uno de los extremos de un resorte en espiral, el otro extremo del resorte está fijo. Cuando no hay ninguna fuerza actuando sobre el conjunto resorte-masa el sistema está en la posición de equilibrio, mostrado en la figura 1 como muelle en reposo. Ahora usamos una fuerza externa y estiramos el resorte con la masa, apartándolo de la posición de equilibrio un cierto desplazamiento máximo para luego soltarlo. El desplazamiento máximo dado a la masa se llama amplitud, es decir la amplitud es la posición mas lejana posible de la de equilibrio que puede tener el cuerpo. Al instante en el que soltamos el cuerpo con el resorte estirado lo establecemos como inicio del proceso t = 0.

Una vez libre, el cuerpo adquiere un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio, hacia un lado y hacia otro, el tiempo que tarda la masa en ir y volver a un mismo punto cualquiera del movimiento se llama período (T), dicho en otras palabras el período es el tiempo que tarda en realizar una oscilación completa. A la cantidad de oscilaciones que se producen en una unidad de tiempo se le llama frecuencia.

En la parte inferior de la figura 1 se han representado las diferentes posiciones que va tomando el cuerpo en movimiento a medida que transcurre el tiempo, hasta completar un período. Si consideramos ahora un sistema cartesiano con el origen en O y formado por un eje horizontal, paralelo al desplazamiento de la masa (x), y una linea de tiempo (linea de puntos vertical), como eje y, podemos decir, sin entrar en complejas demostraciones matemáticas que salen del interés del artículo, que la curva resultante no es mas que una curva sinusoidal. Condición necesaria para que un movimiento cualquiera sea considerado harmónico simple.

Concetrémonos ahora en la velocidad del cuerpo, que ha sido marcada como v, y representada con flechas, cuya longitud es proporcional a la magnitud de la velocidad y la saeta marca la dirección (representación vectorial).

Observe que la velocidad comienza a crecer en una dirección a partir de t = 0 para tener su máximo valor cerca de t =  ¼ T, luego disminuye hasta ser cero (cuerpo sin movimiento) en el instante t =  ½ T. A partir de ese punto la velocidad comienza a crecer de nuevo pero en dirección contraria, para alcanzar otro máximo a t =  ¾ T y volver a descender y ser cero a t = T, momento en el cual se inicia una nueva oscilación, un nuevo ciclo que no se representa.

El cambio de la velocidad con respecto al tiempo implica que el cuerpo tiene un movimiento acelerado, es decir está sometido a una aceleración.

Hay que aclarar aquí que para que lo explicado sea estrictamente valido se tienen que cumplir ciertas condiciones ideales:

1.- La masa del cuerpo debe ser puntual.

2.- El resorte no tiene masa.

3.- El cuerpo está suspendido sin apoyo alguno.

4.- No existe resistencia alguna al movimiento. 

Estas consideraciones hacen que nuestro sistema sea una idealización, y que esto no se cumplirá nunca en la realidad, no obstante, en un caso real, si la masa m del cuerpo, es muy grande comparada con la del resorte, y la resistencia al movimiento del cuerpo en el medio en que se encuentre sea mínima, el sistema no se aparta mucho de la idealización.

El péndulo simple

Péndulo

 Figura 2.

La masa que oscila en un resorte vista arriba desarrolla su movimiento en un marco uni-dimensional, el desplazamiento es siempre sobre un linea. Pero los movimientos armónicos se pueden desarrollar también en sistemas de más de una dimensión, el caso del péndulo se produce en un sistema de dos dimensiones. El péndulo simple es otro movimiento de tipo harmónico, veamos.

Un péndulo simple aparece esquemáticamente representado en la figura 2, y consiste en un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. El cuerpo oscila a ambos lados de una posición central.

Al principio, cuando no hay movimiento, el cuerpo cuelga de la cuerda verticalmente debido al efecto de la fuerza de la gravedad. Esta posición es la de equilibrio natural del sistema y por ello la llamaremos posición de equilibrio, y aparece en el dibujo como un linea de puntos vertical. Para poner en marcha las oscilaciones usamos una fuerza externa y movemos el cuerpo aparte de la posición de equilibrio un ángulo máximo θ, que corresponde, en analogía al caso de resorte, a la amplitud; y lo soltamos.

La fuerza de la gravedad tiende a mover el cuerpo verticalmente hacia abajo, pero como la cuerda lo impide, se mueve por un arco de círculo de radio l, representado en rojo en la figura. La acción de la gravedad acelera el movimiento del cuerpo y llega a la posición de equilibrio (la mas baja) a la máxima velocidad, se ha trasladado "cuesta abajo". Como tiene una velocidad relativamente alta no se detiene al pasar por la posición de equilibrio y continua viaje al otro lado, ahora, "cuesta arriba" y por lo tanto disminuyendo la velocidad hasta detenerse de nuevo al otro lado y emprender el viaje de regreso, para repetir el ciclo una y otra vez.

El desplazamiento del cuerpo por el arco de círculo lo podemos separar en sus dos componentes en las direcciones de los ejes x e y.

Observe en la figura 2 que se forma un triángulo rectángulo, en el que x es el cateto opuesto al ángulo θ y l la hipotenusa.

De acuerdo a la trigonometría, el valor de x, es decir la componente horizontal del desplazamiento, responde a la expresión:
 
x = l sen θ     (ecuación 1)

Como l es constante, se desprende que x tiene un comportamiento sinusoidal, que es la condición para que el movimiento sea harmónico simple. Pero en realidad el cuerpo no se desplaza en la dirección de x, lo hace por un arco de círculo, sin embargo, la diferencia entre la longitud del arco de círculo, que llamaremos L y el desplazamiento horizontal x se va haciendo cada vez más pequeña a medida que disminuye el valor de θ, lo que nos hace llegar a la concusión de que: se puede asumir con gran aproximación, que para valores suficientemente pequeños del ángulo θ se cumple la condición:

L = x
Es decir el desplazamiento real del cuerpo puede considerarse sinusoidal.

Para ilustrar, podemos decir que matemáticamente se puede demostrar que para un ángulo θ de 11° la diferencia entre la longitud del arco de círculo y el desplazamiento x es del 1%, y ya para 6° se hace igual al 0.1%.



Otros temas de física en el orden lógico de lectura aquí.
Otros temas de física en orden alfabético aquí.
Para ir al índice general del portal aquí.