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Contenido del artículo
Cinemática de la rotación sobre un eje
Velocidad angular
Energía cinética rotacional
Dinámica de la rotación sobre un eje
Momento de una fuerza
Cantidad de movimiento angular
Carácter vectorial de las magnitudes angulares

Rotación de cuerpos rígidos.

Un cuerpo rígido es aquel que no cambia de forma ni de volumen mientras se mueve. Estos cuerpos se pueden considerar como un conglomerado de partículas ubicadas en posiciones fijas unas respecto a las otras.

Empecemos por considerar el posible movimiento de un cuerpo rígido cuando uno de los puntos del cuerpo está fijo en el espacio. Otro punto cualquiera P del cuerpo siempre estará a una distancia fija del punto de rotación, al mismo tiempo el resto de los puntos que conforman el cuerpo también mantendrán la distancia fija entre ellos y al punto de rotación. Si estamos hablando, por ejemplo, de una lámina de metal, como la que se muestra en la figura 1, con un punto fijo de su superficie plana, entonces el resto de los puntos se moveran en círculos alrededor del punto fijo, y el movimiento de la lámina será de rotación sobre un eje que es perpendicular a la lámina y que pasa por el punto fijo. Veamos con más detalle la figura 1.

Rotación alrededor de un punto
Figura 1. Un cuerpo plano rotando en el plano x-y sobre un eje perpendicular al plano (eje z).

Hemos tomado el punto fijo dentro del cuerpo como el origen de un sistema de coordenadas que definen el plano x-y. Este plano está fijo en el espacio, es decir, no se mueve con el cuerpo. En un cierto tiempo el punto P tiene las coordenadas (x1, y1) y trasncurrido un tiempo más tarde las coordenadas (x2, y2). Y ambas coordenadas, x e y cambian con el tiempo. Si usamos un sietma de coordenadas polares podemos describir el movimiento del cuerpo con el uso del ángulo θ medido a partir del eje x, y de la distancia R desde el origen. Note que la única magnitud variable es el ángulo θ, la distancia R se mantiene constante, por lo que podemos afirmar que nuestro punto P desarrolla un movimiento circular y por tanto un desplazamiento angular.

Es fácil llegar a la conclusión de que en el cuerpo rígido cuando el punto P se mueve un cierto ángulo en el movimiento rotacional alrededor del origen, todos los puntos del cuerpo giran exactamente el mismo ángulo, de modo que este movimiento con un punto fijo se describe completamente a través del movimiento circular de una linea arbitraria tomada desde el origen al punto P en el cuerpo, y necesitamos además una sola variable, θ.

Ahora veamos el caso de un cuerpo tridimensional cuando en lugar de un solo punto fijo se aseguran en el espacio dos puntos dentro del cuerpo. Ahora, la linea que une a los dos puntos fijos también está fija en el espacio y la llamaremos eje. Todos los puntos que se encuentran a lo largo del eje están fijos en el espacio. Un punto P ubicado fuera del eje estará siempre a una distancia constante de los dos puntos fijos y a una distancia perpendicular al eje invariable. Con dos puntos fijos, el movimiento de un cuepo tridimesional resulta en rotación alrededor del eje.

Cinemática de la rotación sobre un eje.

Vamos a considerar un cuerpo rígido rotando sobre un eje fijo (figura 2); demos una descripción matemática del movimiento.

Rotación alrededor de un eje
Figura 2. Un cuerpo rígido tridimensional
rotando alrededor de un eje.



Hagamos coincidir el eje de rotación con el eje z del sistema coordenado espacial (figura 2 izquierda). El vector de posición del punto P es r y va desde el origen al punto P. Considermos ahora que la proyección del vector r sobre el plano x-y va desde el origen al punto P' y llamemos θ al ángulo que forma esta proyección con el eje x.

Velocidad angular

Velocidad angular promedio

En la figura 2 a la derecha, que representa una vista desde z, el punto P' se ha movido con la rotación del cuerpo desde un angulo θ0 al ángulo θ en un intervalo Δt. La velocidad angular promedio ωp debida al cambio del ángulo en el intervalo finito Δt es:

Velocidad angular (ecuación 1)

Velocidad angular instantánea

La definición de velocidad angular promedio incluye un intervalo de tiempo, y poco nos dice de las particularidades del movimiento. Obtendremos un mejor panorama si lo dividimos en intervalos cada vez más pequeños y calculamos la velocidad angular promedio en cada uno. Este proceso de división del intervalo de tiempo general en intervalos mas pequeños (nuevo y menor Δt)  es posible continuarlo más y más, y cada vez calcular la velocidad angular promedio en esos nuevos intervalos.

Si seguimos comprimiendo a Δt llegará un momento en que tienda a ser cero, pero esta condición nunca se alcanza, ya que cada vez, el nuevo Δt es el resultado de dividir una cantidad finita lo que genera otra mas chica pero finita también. Sin embargo, y haciendo uso de una situación algo abstracta, podemos decir que cuando Δt tiende a ser cero hemos alcanzado el límite, lo que se simboliza como Δt ➝ 0. Es decir, nuestro Δt se convierte en infinitesimal. El cálculo de la velocidad angular promedio en el límite es lo que se llama velocidad angular instantánea. En un idioma más coloquial se podía definir la velocidad angular instantánea como la velocidad angular en un determinado instante cualquiera de tiempo durante un movimiento de rotación.

Matemáticamente la definición de velocidad angular instantánea adquiere la forma siguiente:

angular instantánea (ecuación 2)


El ángulo θ se toma en radianes (2π rad = 360º) de manera que las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s). Debido a que el radián es una magnitud adimensional la unidad de ω es tiempo -1 (1/T). Convencionalmente se toma la velocidad angular como positiva cuando el ángulo θ crece con el tiempo en la dirección contraria a las agujas del reloj partiendo del eje x.

Para el caso particular de que la velocidad angular sea constante, ω0 = ω(t) entonces el ángulo θ crece de forma proporcional al tiempo, es decir:

 θ = θ0 + ω0t     (ecuación 3)

Aquí θ0 es el ángulo en radianes al tiempo t0.

Ya habíamos dicho que los puntos de un cuerpo rígido que rota alrededror de un eje lo hacen en un círculo. El tiempo en el que este círculo se completa se llama período y se representa como T. Debido a que un circulo completo tiene 2π rad:

T = 2π/ω0      (ecuación 4)

La frecuencia de rotación f representa las veces que el punto P pasa por su posición de origen en un segundo en una rotación uniforme:

f = 1/T = ω0/2π      (ecuación 5)

Si la velocidad angular no es constante se define la aceleración angular promedio, αp como:

aceleracion promedio   (ecuación 6)

Las unidad de la aceleración es radianes por segundo al cuadrado, y como los radianes son adimensionales, la dimensión de α es tiempo -2. Si la aceleración angular es constante entonces la velocidad angular cambia proporcionalmente al tiempo, esto es:

ω = ω0 + αt      (ecuación 7)

Donde ω0 es la velocidad angular al tiempo t = 0. El ángulo θ resulta como:

θ(t) = θ0 + ω0t + ½αt2     (ecuación 8)

Energía cinética rotacional

Un cuerpo con masa en movimiento tiene energía cinética y esta forma de energía para masas que se desplazan linealmente fue tratada conceptualmente en el artículo Energía mecánica y vinculada a la acción de una fuerza en el artículo Trabajo y energía cinética.

figura 3
Figura 3.


Como una masa que rota también se mueve, entonces tendrá una energía cinética rotacional. Consideremos el objeto de la figura 3 que rota sobre el eje z a una velocidad angular ω. Se ha escogido un lugar arbitrario para colocar el origen del sistema de coordenadas x- y. Ahora dividimos el objeto en secciones denominadas con el sub-índice i y cuya masa es Δmi, es decir, estamos tratando el objeto como un conjunto de partículas.

La energía cinética (Ec) total del objeto es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas, esto es:

Ec∑ Eci  = ½ Δmi vi2     (ecuación 9)

Como cada partícula de masa rota alrededror del eje z con una velocidad angular ω y teniendo en cuenta que la velocidad de la partícula es igual a la velocidad angular multiplicada por la distancia perpendicualar al eje de rotación tenemos:

vi = Riω     (ecuación 10)

Sustituyendo el valor de vi tomado de la ecuación 10 en la ecuación 9 tenemos:

 Ec = ½ Δmi Ri2ω2    (ecuación11)

Al factor Δmi Ri2 se le llama momento de inercia y se le representa como I, de modo que finalmente tenemos:

Ec = ½ I ω2     (ecuación 12)

La cantidad I es una propiedad del objeto y tiene como dimensiones: masa por longitud al cuadrado [kg · m2]. Note que por definición el valor de I es la suma de las contribuciones de todas las partículas del objeto, pero para una partícula simple:

I = mR2    (ecuación 13)

Donde R es la distancia perpendicular al eje de rotación y m la masa de la partícula.

El momento de inercia en el movimiento rotacional juega un rol análogo al de masa en el movimiento lineal, excepto por el hecho de que se define con repecto a un eje de rotación en particular. Si se fija, la energía cinética en el movimiento lineal es Ec = ½ mv2 y para el de rotación es Ec = ½ I ω2  de modo que si la masa representa la resistencia de un objeto al cambio de velocidad, el momento de inercia mide la resistencia de un objeto a cambiar su velocidad angular.

La determinación de la expresión de cálculo del momento de inercia de los cuerpos continuos requiere conocer de integrales matemáticos y no lo vamos a tratar aquí, no obstante, en la figura 4 se brinda un resumen de estas expresiones para objetos usuales.

momentos de inercia
Figura 4. Momentos de inercia de objetos comunes

Dinámica de la rotación sobre un eje.

Momento de una fuerza

Hasta ahora solo hemos descrito el movimiento de rotación de cuerpos rígidos sin tocar las causas que los producen. La segunda ley de Newton describe la dinámica del movimiento lineal al establecer que hay una relación entre la masa la aceleración y la fuerza aplicada a un cuerpo según F = ma. Pues bien, traemos a colación el tema porque nos permitirá establecer una analogía entre la dinámica del movimiento lineal y el rotacional. Ya hemos visto que el momento de inercia juega un rol equivalente al de masa cuando se trata de un movimiento de rotación y ahora veremos una nueva magnitud física, el momento de fuerza (también conocido como torque) que es una cantidad análoga a la fuerza que nos permitirá establecer una expresión equivalente, en el movimiento de rotación, de la segunda ley de Newton.

torque
Figura 5.

diagrama
Figura 6


Para comprender, lo mejor es partir de un ejemplo definido de movimiento de rotación y pensar sobre la razón que lo produce. Veamos: supongamos que tenemos una varilla A horizontal de longitud R con un cuerpo esférico en un extremo cuya masa en conjunto (varilla A + esfera) es m (figura 5). Esta varilla A esta solidaria perpendicularmente en el otro extremo a otra varilla B vertical que puede rotar sobre su eje central. Con esta construcción el movimiento de la varilla A es siempre en un plano horizontal perpendicular a la varilla B. Consideremos ahora que una fuerza F actúa en ese plano en el punto P de la longitud de la varilla A. Cuando la fuerza F tiene el efecto de que el sistema desarrolle un movimiento de rotación se dice que la fuerza produce un momento.

Todos tenemos una percepción intuitiva del momento como una torción, de la misma forma que tenemos la percepción de una fuerza como empujar o halar. Pero hay una diferencia fundamental entre la fuerza y el momento. En el movimiento lineal la fuerza siempre actúa plenamente sobre el cuerpo en el sentido de producir (o cambiar) un movimiento, mientras que para el caso de la rotación la capacidad de la fuerza para producir momento, y con ello movimiento de rotación, depende de dos cuestiones básicas:
  1. De la magnitud propia de la fuerza: una fuerza mayor ejerce un mayor momento que el que produce una fuerza de menor magnitud cuando se aplican en igualdad de condiciones geométricas.
  2. De su efectividad: y esta efectividad será mayor a medida que la fuerza se ejerza en un punto cada vez más lejano del centro de rotación a lo largo de la varilla A y en ángulo recto con la varilla. La fuerza no produce momento alguno si su dirección es paralela al eje de la varilla A y momento máximo cuando es perpendicular a ella.

En la figura 6 se muestra el sistema de la figura 5 visto desde el eje z y se ha representado como r la distancia desde el origen hasta el punto P de aplicación de la fuerza F. De acuerdo a lo que hemos dicho, el momento de la fuerza F será mayor a medida que r sea mas grande y la componente de la fuerza F que realiza momento es la que resulta perpendicular a r, es decir, F senθ. Donde θ es el ángulo entre r y la fuerza F. El factor F senθ se conoce como brazo de momento o simplemente brazo.

Finalmente el momento de fuerza, que se simboliza como τ responde a la expresión:

τ = rF senθ      (ecuación 14)

Para no extender en exceso el artículo no vamos a describir el proceso de determinación de la ecuación dinámica del movimiento rotacional partiendo de la segunda ley de Newton, solo la enuciaremos y esta es:

τ = Iα     (ecuación 15)

Note la similitud con F = ma. La diferencia fundamental entre la segunda ley de Newton usando la masa inercial y la aceleración lineal en relación al momento de fuerza es que en el segundo caso tanto el momento τ, como la aceleración angular α y la inercia rotacional I se refieren a un eje de rotación particular.

Cantidad de movimiento angular

Cuando describimos la cantidad de movimiento en los sistemas que se desplazan (lineales), llegamos a definir el concepto de cantidad de movimiento como el producto de la masa del sistema por su velocidad (p = mv). Allí se estableció que siempre que no existieran fuerzas externas netas actuando sobre un sistema de masa invariable, la cantidad de movimiento se mantenía constante, ya que al no haber fuerza neta ni cambio de masa no hay aceleración y por lo tanto los dos factores involucrados en el cálculo de la cantidad de movimiento (masa y velocidad) son constante.

Similarmente podemos definir la cantidad de movimiento angular L para los cuerpos simétricos que giran con respecto al eje de simetría como:


L = Iω

Conservación de la cantidad de movimiento angular

Teniendo en cuenta la expresión de la cantidad de movimiento angular, L = Iω, podemos concluir que:

Cuando en un sistema de momento de inercia (I) invariable que rota sobre un eje, si el momento de fuerza (τ) neto externo que actúa es cero la cantidad de movimiento de tal sistema se mantiene constante.

Y este enunciado es fácil de interpretar ya que: si el momento de inercia (I) no cambia ni hay momento de fuerza neto que produzca aceleración angular y por tanto cambio en la velocidad angular (ω), el producto L = Iω = constante.

Durante los movimientos de rotación de cuerpos simétricos con respecto al eje de simetría el momento de inercia puede cambiar frecuentemente, de modo que el principio de la consevación de la cantidad de movimiento angular es más útil aun que el mismo principo en los movimientos lineales donde los casos de cambio de masa son infrecuentes.

Existen muchos ejemplos que demuestran la veracidad del principio de la conservación de la cantidad de movimiento angular, algunos de los cuales pueden ser muy familiares para usted. Usted debe haber observado un patinador sobre hielo girando en el acto final de una rutina de patinaje. La velocidad de rotación del patinador se incrementa cuando este acerca los brazos y las piernas al eje de rotación que pasa por por el tronco del cuerpo.  Despreciando la fuerza de rozamiento entre el hielo y el patín usted debe estar de acuero que no hay torque neto externo actuando sobre el patinador, sin embargo, el momento de inercia del patinador disminuye a medida que se acercan los brazos y las piernas al cuerpo. Debido a que el producto Iω debe ser constante, la disminución del momento de inercia del patinador produce el correspondiente aumento de la velocidad angular.

Carácter vectorial de las magnitudes angulares.

regla de la mano derecha
Figura 7. Regla de la mano derecha

Hemos visto que hay un paralelismo entre las magnitudes lineales y angulares, esto es, entre posición y ángulo; entre velocidad y velocidad angular; y entre aceleración y aceleración angular, sin embargo, las magnitudes lineales son fáciles de interpretar como vectores, y, de hecho, esta naturaleza ha sido importante en nuestro tratamiento en los artículos correspondientes. A diferencia, en el tratamiento que hemos llevado a cabo de las magnitudes angulares de cuerpos que rotan sobre un eje, su naturaleza vectorial no ha jugado ningún rol, ¿pero pueden considerarse en realidad vectores?

Para poder consideran vectorial una magnitud necesitamos además del "tamaño" una dirección, y en los movimientos rotacionales sobre un eje la única dirección que existe es la del eje de rotación, de modo que si las magnitudes angulares son vectores la dirección del vector está obligada a ser la dirección del eje de rotación.

Sin entrar a describir los detalles que lo demuestran, podemos decir que efectivamente, la dirección de los vectores ángulo de rotación, velocidad angular, y aceleración angular coincide con el eje de rotación y su sentido se ha establecido convencionalmente con el uso de la regla de la mano derecha que dice:

Cuando se enrosca el eje z con la mano derecha y la punta de los dedos se dirigen en la dirección de crecimiento del ángulo de giro, entonces la punta del dedo pulgar indica el sentido del vector ángulo.

A igual que en el movimiento lineal la dirección vectorial del resto de las magnitudes angulares queda difinida por la dirección del vector ángulo como se muestra en la figura 7.



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