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Movimiento en dos dimensiones.

Contenido del artículo
Posición y desplazamiento
Velocidad y aceleración
Proyectiles

Para el caso del movimiento rectilíneo (en una sola dimensión) la naturaleza vectorial del desplazamiento, de la velocidad, y de la aceleración no es trascendente y simplemente se tiene en cuenta con solo agregar un signo convencional, positivo o negativo, cuando estas se producen en direcciones opuestas. Pero para el caso de movimientos en dos o tres dimensiones resulta crucial el uso de vectores a fin de poder caracterizarlos.

Nos concentraremos en este artículo en el movimiento en un plano y este tipo de movimiento presenta gran interés para nosotros ya que muchos de los movimientos que nos rodean son de este tipo. Por ejemplo, una piedra lanzada desde el techo de una casa se mueve en un plano vertical, el péndulo simple se balancea también en un plano vertical y las órbitas de los planetas yacen en un plano.

Posición y desplazamiento

figura 1
Figura 1.

figura 2
Figura 2.


Ya sea una roca lanzada de un abismo o un planeta moviéndose en su órbita se va trazando una ruta a medida que el tiempo pasa, y si el objeto en cuestión se considera puntual, a esa ruta se le llama trayectoria.

En la figura 1 aparece el dibujo de una partícula que describe una trayectoria curva, es decir, moviéndose en un plano. Llamaremos al plano como plano x-y e introduciremos un par de ejes coordenados con un origen O y dos ejes, uno x y el otro y. La posición de la partícula en el tiempo t se describe con el vector de posición r(t) y este vector apunta desde el origen a la posición P de la partícula. Un tiempo posterior t + Δt la partícula se encuentra en Q y se describe por el vector r(t + Δt). El vector desplazamiento Δr que describe el cambio en la posición de la partícula entre los tiempos t y t + Δt se define como:

Δr ≡ r(t + Δt) - r(t)*    (ecuación 1)

*el símbolo se utiliza para indicar que es una definición.

Note que la magnitud del vector desplazamiento no es igual a la distancia recorrida por el objeto y, de hecho, la magnitud del desplazamiento es menor que la distancia, si la ruta es curva.

Vea en la figura 2 que el vector desplazamiento de la partícula (Δr) va cambiando de dirección y magnitud a medida que hacemos menor la magnitud de (t + Δt), esto es, acortando la trayectoria recorrida representada por los puntos Q1, Q2, y Q3; de lo que se deprende que los componentes con respecto a los ejes x e y del vector desplazamiento cambian con el tiempo. Observe que a medida que el intervalo de tiempo (t + Δt) se va haciendo menor, la dirección del desplazamiento tiende a ser tangente a la trayectoria en el punto de localización del objeto que se mueve, de modo que para un tiempo infinitesimal, el vector desplazamiento, aunque de magnitud infinitesimal también, resulta tangente a la trayectoria.

Velocidad y aceleración

Velocidad

La velocidad representa la tasa de cambio de la posición de la partícula en su trayectoria, y se puede obtener partiendo de la ecuación 1 para el desplazamiento.

Velocidad promedio

La velocidad promedio (vp) en un plazo de tiempo finito desde t  hasta (t + Δt) se define como:

vp ≡ r(t + Δt) - r(t)/Δt    (ecuación 2)

y el vector velocidad apunta en la misma dirección que el desplazamiento.

Velocidad instantánea

Para determinar la velocidad instantánea repetiremos aquí el mismo razonamiento hecho cuando se trató el tema del movimiento rectilíneo.

La definición de velocidad promedio incluye un intervalo de tiempo, y poco nos dice de las particularidades del movimiento entre los extremos del intervalo. Obtendremos un mejor panorama del movimiento si lo dividimos en intervalos cada vez más pequeños y calculamos la velocidad promedio en cada uno. Este proceso de división del intervalo del tiempo general en intervalos mas pequeños (nuevo y menor Δt)  es posible continuarlo más y más, y cada vez calcular la velocidad promedio en esos nuevos intervalos.

Si seguimos comprimiendo a
Δt llegará un momento en que tienda a ser cero, pero esta condición nunca se alcanza, ya que cada vez, el nuevo Δt es el resultado de dividir una cantidad finita, lo que genera otra más chica pero finita también. Sin embargo, y haciendo uso de una situación algo abstracta, podemos decir que cuando Δt tiende a ser cero hemos alcanzado el límite, lo que se simboliza como Δt ➝ 0. Es decir, nuestro Δt se convierte en infinitesimal. El cálculo de la velocidad promedio en el límite es lo que se llama velocidad instantánea. En un idioma mas coloquial se podía definir la velocidad instantánea como la velocidad en un determinado instante cualquiera de tiempo durante un movimiento.

Matemáticamente la definición de velocidad instantánea adquiere la forma siguiente:

ecuación 3 (ecuación 3)

figura 3
Figura 3. Arriba en (a) la velocidad instantánea en un punto de la trayectoria, abajo en (b) los componentes en los ejes x e y

El vector velocidad se puede descomponer en sus componentes sobre los ejes x e y (figura 3) lo que nos describe el movimiento del objeto en relación con esos ejes. Si consideramos ahora que el origen (O) del par de coordenadas que definen el plano está en un punto sobre el suelo, que el eje y es vertical mientas que el eje x es horizontal, los componentes instantáneos de la velocidad del objeto nos indican que este se mueve ganando en altura a cierta velocidad en cada instante de tiempo al mismo tiempo que se aleja horizontalmente del origen también a cierta velocidad en cada instante de tiempo.

El hecho de que hay más de un componente, es la única diferencia real entre los movimientos en dos y tres dimensiones con el movimiento rectilíneo.

Aceleración

La aceleración describe la tasa de cambio de la velocidad y se determina por un razonamiento similar al de la velocidad. Para un intervalo de tiempo finito Δt la aceleración promedio se define como:

ecuación 4 (ecuación 4)

y la aceleración instantánea.

ecuación 5 (ecuación 5)

Movimiento con aceleración constante.


El movimiento con aceleración constante es un caso particular del movimiento en un plano y un caso clásico de aceleración constante es la gravedad. Como los cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad son muy abundantes y normalmente los encontramos con mucha frecuencia, resulta importante describir este movimiento ya que al mismo tiempo es uno de los más simples. Si la aceleración (a) es constante, necesariamente serán constantes también sus componentes sobre los ejes x (ax) e y (ay). Evidentemente la aceleración debe ser constante en magnitud, dirección y sentido. Cuando tanto la ax como la ay son constantes podemos utilizar las ecuaciones del movimiento rectilíneo con aceleración constante para calcular de forma independiente los componentes x e y de la posición r, y de la velocidad v, en términos de aceleración constante. En el artículo sobre movimiento rectilíneo con aceleración constante llegamos a la conclusión de que el desplazamiento X, y la velocidad V, en un tiempo t responden a:

expresión (ecuación 6)


 V = at + V0      (ecuación 7)

De modo que finalmente tenemos:

x = x0 + v0xt + ½axt2    (ecuación 8)

vx = v0x +
axt    (ecuación 9)

y = y0 + v0yt + ½ayt2
     (ecuación 10)

 
vy = v0y + ayt
      (ecuación 11)

Donde: x0 e y0 son los componentes correspondientes de r = r0 al tiempo inicial t = 0.  Así como v0x y v0y  son los componentes de v0 al tiempo t = 0.

Proyectiles

Consideremos un balón de fútbol en reposo en el suelo que es pateado por el portero lo más lejos posible a fin de ponerlo en juego cerca de la portería contraria. El movimiento del balón es un ejemplo de proyectil. Si no tenemos en cuenta la resistencia del aire (hacemos esta despreciable) el balón describe un movimiento como el mostrado en la figura 4 a continuación.

trayectoria de proyectil
Figura 4. Trayectoria del balón de fútbol.
El balón abandona el origen (superficie del suelo) con una velocidad v0. Note que la velocidad instantánea v cambia con el tiempo, sin embargo, la componente x de la velocidad v0x se mantiene constante durante todo el recorrido ya que no existe aceleración horizontal y hemos considerado la resistencia del aire despreciable. También vea que la velocidad vy es cero en la cima de la trayectoria dada  la influencia de la aceleración de la gravedad que actúa vertical y hacia abajo.

Por conveniencia hemos colocado el origen del sistema cartesiano en el lugar donde descansaba el balón, con el eje y vertical hacia arriba y el eje x horizontal. La posición inicial del balón es x0 = y0 = 0. Hemos escrito la velocidad inicial al tiempo t0 = 0 como v0. El ángulo de elevación con el que sale el balón se llama θ0. Los componentes de v0 son por lo tanto:

v0x = v0 cos θ0     (ecuación 12)

 v0y = v0 sen θ0    (ecuación 13)

Los componentes de la aceleración son las constantes:   ax = 0   y   ay = -g 

Usando las ecuaciones desde la 8 a la 11 obtenemos:

Desplazamiento horizontal = x = 0 + (v0 cos θ0)t + ½ (0)t2 = (v0 cos θ0)t   (ecuación 14)     

Desplazamiento vertical = y = 0 + (v0 sen θ0)t + ½gt2 = (v0 sen θ0)t - ½gt2   (ecuación 15)

Componente horizontal de la velocidad = vx = v0 cos θ0 + (0)t = v0 cos θ0    (ecuación 16)

 
Componente vertical de la velocidad = vy = v0 sen θ0 - gt     (ecuación 17)

La trayectoria

La trayectoria del balón se obtiene cuando se plotea su altura y contra su posición x. Tanto x como y son funciones del tiempo, de modo que podemos eliminar la dependencia del tiempo usando la ecuación 14 para despejar el tiempo t como función de x:


ecuacion 18

Luego introducimos el valor de t en la ecuación 15

ecuación 19

En la ecuación 19 los coeficientes de x y x2 son ambos constantes, de manera que la ecuación 19 toma la forma:

y = C1x - C2 x2    (ecuación 20)

Lo que corresponde a una parábola cuyo eje es paralelo al eje y. Este es un resultado general así que podemos enunciar que:

La trayectoria de todo proyectil bajo condiciones de aceleración constante y sin resistencia del aire es una parábola.

Recorrido

El recorrido es la distancia sobre el eje x que recorre el proyectil desde el punto de origen hasta cuando vuelve a alcanzar el suelo. No entraremos en detalles de la deducción de la expresión de recorrido, pero partiendo de la ecuación 18 se puede llegar a la conclusión que el recorrido R es:

R = v02 sen (2θ0)/      (ecuación 21)

El recorrido cambia con el ángulo de salida, por ejemplo si
θ0 = 0º, R también es cero ya que el proyectil sale horizontal a nivel del suelo y la más ligera caída hace que este surque la tierra. Si θ0 = 90º de nuevo R = 0, el balón sube verticalemente y regresa también verticalmente para alcanzar el suelo en el mismo punto de donde salió. El recorrido alcanza su mayor valor cuando el factor sen 2θ0 alcance su mayor valor posible de 1. Esto sucede cuando 2θ0 =90º es decir θ0 = 45º en cuyo caso:

Rmaxv02/g     (ecuación 22)

Si el proyectil se lanza a un ángulo mayor o menor de 45º el recorrido será siempre más corto.

Tiempo de vuelo

Llamemos T al tiempo total de vuelo del balón. La figura 4 muestra que la máxima altura se alcanza exactamente a la mitad del vuelo. En este punto el movimiento es horizontal (la componente vertical de la velocidad es cero) y el tiempo t = T/2. Si en la ecuación 17 sustituimos vy = 0 y t por T/2
tenemos:

0 = v0 sen θ0 - gT/    (ecuación 23)

Luego despejamos T y obtenemos:

T = 2v0/g senθ0     (ecuación 24)

Altura máxima.

La altura máxima ymax que llamaremos h se produce en T/2, de modo que sustituyendo en la ecuación 15 se llega a que:

ecuación 24 (ecuación 25)



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