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Contenido del artículo
Introducción
Espejos planos
Espejos curvos
Espejos cóncavos
Espejos convexos
Resumen


Espejos

Introducción

La óptica es una disciplina técnica que puede dividirse en dos grandes ramas, la llamada óptica geométrica y la óptica ondulatoria. La diferencia básica entre ambas ramas es que en la óptica geométrica se usa para el estudio el rayo luminoso, que es un modelo idealizado (o aproximado) de la luz en el cual esta se representa como una linea recta que apunta en la dirección de su propagación, es decir en la dirección del flujo de energía. En el caso de la óptica ondulatoria la luz se trata según su naturaleza ondulatoria y como tal se estudian sus propiedades.

A su vez la óptica geométrica se puede dividir en dos partes:

1.- El estudio de los espejos.

2.- El estudio de los lentes.

En el presente artículo nos ocuparemos de los espejos, pero antes de entrar plenamente en el tema debemos puntualizar ciertas cuestiones que ayudarán en la comprensión.

La primera de esta cuestiones es, que básicamente, la óptica geométrica está vinculada en mucho con el hecho de que estamos dotados de un sistema de visión, es decir podemos ver, y ese rol como observadores de los rayos luminosos es clave en esta disciplina.

Nuestro sistema de visión es capaz de dos cosas principales:

1.- Determinar con precisión la forma y los colores de un objeto colocado en el campo de visión. Esta capacidad se basa en el hecho de que los rayos luminosos procedentes de todos los puntos del objeto que inciden en los ojos se proyectan sobre una superficie especial en su interior dotada de sensores de luz y color. Estos sensores de luz envían la información al cerebro y este último puede con ello generar una imagen del objeto. De esta forma, la imagen es la "copia" fiel de las características del objeto fabricada por nuestras sensaciones, y es, definitivamente, el elemento clave en nuestra interpretación del mundo que nos rodea y base de la óptica.

2.- Determinar también con cierta precisión la distancia a los ojos a la que se encuentra el objeto. Esta última cualidad se logra debido a que tenemos dos ojos, y su combinación, junto al trabajo del cerebro, nos permite saber donde poner la imagen generada. Los rayos luminosos procedentes de un punto en particular del objeto llegan tanto a uno de los ojos como al otro, y como estos están separados una cierta distancia, ambos ojos deben dirigir la luz recibida al mismo lugar en el tejido sensor, o de lo contrario tendríamos una visión doble del punto. Para ello los ojos se mueven una pequeño ángulo y producen la convergencia necesaria de los rayos luminosos. La combinación, posición de los ojos-cerebro, pueden medir el grado de divergencia de los rayos luminosos y es capaz de extrapolarlos para determinar la posición de la imagen.

Adicionalmente hay que decir también, que los sistemas ópticos (espejos y lentes) pueden por si solos formar imágenes de los objetos que podemos percibir con nuestro sistema de visión como si fueran los propios objetos. Estas imágenes generadas por los sistemas ópticos pueden aparentar ser de las mismas dimensiones que el objeto, o aparentar ser de dimensiones diferentes, en cuyo caso se dice que la imagen está ampliada o magnificada. La imagen es "ampliada" indistintamente cuando aparenta ser más grande que el objeto o cuando aparenta ser más pequeña, siendo en este último caso una ampliación negativa.

Espejos planos

figura 1
Figura 1. Imagen formada en un
espejo plano de un punto luminoso.


Los espejos, dispositivos que todos conocemos, son superficies donde la luz que incide "rebota" por reflexión. Cuando nos paramos frente a un espejo podemos ver nuestra imagen como si estuviera detrás del espejo, en este artículo veremos qué es la imagen y cómo se forma.

De todas la superficies reflectoras, la más simple es la plana y a los espejos con esta geometría se les llama espejos planos. Comenzaremos el estudio de los espejos por aquí.

Consideremos una fuente de luz puntual, P, ubicada delante de un espejo plano a una distancia, l, como se muestra en la figura 1. El conjunto de rayos que abandonan la fuente llegan al espejo y se reflejan de acuerdo a la ley de la reflexión, es decir, formando un ángulo con la normal al espejo en el punto de incidencia igual al ángulo formado entre el rayo incidente y la normal. Una vez reflejados, los rayos divergen (se separan) y para un observador colocado en la trayectoria de los rayos divergentes estos aparentan venir del punto I colocado detrás del espejo a la distancia l'. La percepción de los rayos luminosos por la combinación de los ojos y el cerebro siempre tiende a considerar que los rayos se mueven en linea recta. De esta forma, la percepción natural del observador en la posición mostrada en la figura 1 considera la trayectoria de los rayos como convergentes en el punto I y es allí donde se percibe la situación del punto P. El punto I es entonces la imagen virtual  del punto P. Decimos virtual porque en realidad el punto P que vemos reflejado en el espejo, no está ubicado en I y es nuestro sistema visual es el que lo percibe allí.

La diferencia entre una imagen virtual y una imagen real se puede resumir diciendo que:

Una imagen real se forma cuando los rayos luminosos en realidad se interceptan o pasan por el punto-imagen; mientras que una imagen virtual es aquella en la que los rayos luminosos en la realidad no pasan por el punto-imagen pero que aparentan que divergen de ese punto.

Con independencia del sistema que se trate las imágenes siempre se forman del mismo modo, esto es:

La imagen se forma donde los rayos se interceptan en realidad, o donde aparentan que se originan.

Note que siempre las imágenes formadas en un espejo plano son imágenes virtuales.

Una primera importante propiedad de las imágenes formadas en un espejo plano es la siguiente:

La imagen virtual que se forma de un objeto colocado delante de un espejo plano está tan lejos detrás del espejo como está el objeto delante del espejo.

Si nos referimos a la figura 1 el postulado anterior implica que l = l'. Veamos.

figura 2
Figura 2. Construcción geométrica que lleva a la formación de la imagen.

En la figura 2 se muestra la construcción geométrica equivalente a la figura 1 pero en ella solo se han representado dos de los rayos, que hemos llamado rayo 1 y rayo 3 con sus respectivos ángulos de incidencia y reflexión θ1 y θ3 así como los ángulos que forman con la superficie del espejo β1 y β3. Hemos llamado A al punto en el que la linea de distancia entre P e I intercepta el espejo.

El ángulo formado por las lineas AB y BI es igual a β1 de modo que los triángulos PBA e IBA son triángulos semejantes o congruentes. Por el mismo razonamiento también son semejantes los triángulos PCA e ICA. Como ambos rayos 1 y 3 nacen del mismo punto P, la distancia AP forma la base de ambos triángulos, a la izquierda del espejo, y la distancia IA la base de los triángulos a la derecha del espejo.

El procedimiento geométrico seguido nos permite, de hecho, saber donde está el punto I (imagen del objeto) ya que si PBA e IBA son triángulos semejantes, entonces las distancias PA (distancia del objeto) e IA (distancia de la imagen) son iguales.

Cuando el objeto no es puntual

Cuando la fuente de luz (u objeto) no es puntual y se extiende, se puede determinar la forma y ubicación de la imagen virtual por el mismo método utilizado en el objeto puntual. Si tomamos un segundo punto del objeto este producirá una segunda imagen puntual ubicada tan cerca de la primera imagen como está el segundo punto del primero en el objeto real (figura 3). La misma construcción para un juego de otros puntos irán conformando una imagen virtual del objeto extendido que hace juego geométricamente de forma perfecta con el objeto y de esto se desprende una segunda propiedad del espejo plano:

Los espejos planos producen imágenes virtuales perfectas.

figura 3
Figura 3. La imagen generada sigue siendo erecta y de las mismas dimensiones que el objeto.

Los espejos planos, además de no producir distorsión de la imagen, tampoco la amplían o magnifican como puede observarse en la figura 3 en la que se ha hecho la construcción geométrica para tres puntos del objeto. Observe que la altura del objeto coincide con la altura de la imagen de modo que la tercera propiedad es:

Los espejos planos producen imágenes virtuales de las mismas dimensiones que el objeto real.

Aunque los espejos planos producen imágenes perfectas y erectas (note que en la imagen de la figura 3 la flecha apunta igualmente hacia arriba), estas tienen una cualidad peculiar, y es que invierten la derecha y la izquierda del objeto en la imagen que producen. Si usted se para frente a un espejo y levanta la mano derecha, la imagen que usted ve, levanta la mano izquierda. Del mismo modo, si usted se para frente a un espejo con un texto hacia el espejo verá que las letras y el texto en la imagen se ven invertidas en la dirección derecha-izquierda. Esta característica nos permite redactar la cuarta propiedad de los espejos planos.

Los espejos planos producen la imagen con la derecha y la izquierda invertidas.

Espejos curvos

Hemos visto que los espejos planos no alteran las dimensiones del objeto en la imagen, no obstante, se pueden construir espejos que producen imágenes de medidas alteradas, lo mismo reales que virtuales usando superficies curvas.

figura 4

Figura 4. Espejos cóncavo y convexo.


La superficie curva más simple, y además más fácil de construir, es un segmento de esfera y para determinar las propiedades de este tipo de espejo utilizaremos la técnica de los rayos reflejados como se hizo para el caso de los espejos planos. A diferencia con los espejos planos, en estos espejos curvos la fuente de luz puede estar colocada en alguno de los dos lados del espejo (figura 4):

Si la fuente de luz (objeto) está situada del mismo lado que el centro de curvatura del espejo (el centro de la esfera de la cual el espejo es un segmento) el espejo es cóncavo pero si la fuente de luz está del otro lado entonces es convexo.

La determinación de las propiedades de los espejos esféricos de manera exacta es bastante compleja y por ello se hacen ciertas aproximaciones que permiten simplificar el tratamiento geométrico (y matemático):

1.- Llamaremos eje del espejo a la linea perpendicular al centro del espejo (la linea C - C ' de la figura 4) y se estudiarán los objetos colocados en, o cerca del eje.

2.- Las dimensiones del objeto (d) que mira al espejo deben ser pequeñas comparadas con el radio (R) de curvatura del espejo. Con ello se considera que el objeto está en las proximidades del eje.

3.- Solo se considerarán los rayos luminosos suficientemente cerca del eje como para que se pueda aceptar con aproximación razonable que estos rayos son paralelos al eje.

Espejos cóncavos

figura 5
Figura 5. Los rayos provenientes de un objeto muy lejano son paralelos al eje.

Empezaremos la descripción de las propiedades del espejo curvo usando un espejo cóncavo al que llegan rayos luminosos de una fuente puntual muy lejana al espejo, ubicada en el eje, por lo que se puede considerar de manera práctica que los rayos luminosos llegan al espejo paralelos al eje*. La figura 5 es una representación de esta situación.

* Para ser exactos los rayos son verdaderamente paralelos si el objeto está en el infinito.

En la figura 5 el punto C es el centro de curvatura del espejo y cualquier linea que pase por C se convierte en un radio (R) entre C y la superficie del espejo, lo que implica que esta linea es siempre perpendicular al espejo. Para la descripción se han representado dos rayos luminosos, el rayo 1 incide en el punto A y resulta reflejado sobre la linea AF, y el rayo 2, que corre sobre el eje del espejo se refleja sobre sí mismo hacia atrás. Ambos rayos se interceptan en el punto F ubicado sobre el eje. El ángulo de incidencia del rayo 1 con la linea CA es θ. La linea CA es perpendicular a la superficie del espejo (normal) y por lo tanto el rayo reflejado también forma el mismo ángulo con la linea CA. Como los rayos 1 y 2 son paralelos, el rayo 2 también forma el mismo ángulo con la linea CA, es decir el ángulo ACB. Esta geometría nos indica que el triángulo ACF es isósceles con la base de longitud R. Si tiramos una linea perpendicular a la base del triángulo desde F, la distancia CF es igual (R/2)/cos θ. Para ángulos θ pequeños, cos θ es prácticamente 1 por lo que:

CF = R/2    y    BF = R - CF = R/2

figura 6

Figura 6. Todos los rayos paralelos próximos al eje se reflejan y pasan por el foco.


Siempre que θ sea suficientemente pequeño, de modo que todos los rayos luminosos cercanos al eje inciden con el ángulo θ muy pequeño y cada vez más pequeño a medida que estén más cerca del eje. De esta aproximación podemos concluir que todos los rayos paralelos cercanos al eje se reflejan y pasan por el punto F a la distancia R/2 del espejo (figura 6). Como todos esos rayos divergen del punto F este punto es la imagen de la fuente de luz puntual distante. A diferencia con el espejo plano, esta imagen puntual es real ya que físicamente los rayos reflejados pasan por ahí.

Al punto F donde convergen todos los rayos de una fuente puntual ubicada en el infinito para formar una imagen se le llama foco y a la distancia desde donde el eje intercepta la superficie del espejo hasta el foco, distancia focal (distancia BF en la figura 5).

Si llamamos f a la distancia focal, entonces para un espejo cóncavo cuando refleja una fuente de luz puntual en el infinito:

f = R/2     (ecuación 1)

Vea que si colocamos la fuente luminosa puntual en el foco del espejo, entonces se produce el proceso a la inversa, se refleja un haz de rayos luminosos paralelos al eje del espejo, y esta posibilidad se usa en la práctica en las pantallas reflectoras de lámparas y linternas.

figura 7
Figura 7. Los rayos con grandes ángulos no interceptan el eje del espejo en el mismo punto y producen una imagen borrosa.

Es importante recalcar que el foco en un espejo esférico es solo una aproximación, ya que parte de la consideración ideal de que la fuente luminosa puntual está en el infinito cosa que no es posible. Por ello en una situación real en la que el objeto no es puntual ni está en el infinito los rayos reflejados no llegan paralelos al espejo y por tanto no se interceptan exactamente en el mismo punto sobre el eje del espejo para formar una imagen bien enfocada, y solo lo hacen de forma muy cercana cuando la situación real se acerca a la ideal, pero se apartan notablemente cuando esta condición se separa de la ideal dando una imagen borrosa del objeto. Este fenómeno se conoce como aberración y se produce en mayor o menor grado en todos los espejos esféricos.

La figura 7 muestra como se interceptan los rayos luminosos reflejados cuando estos llegan al espejo a grandes ángulos de incidencia. Observe que la imagen no se define bien.

La solución al problema de la aberración se logra si el espejo se construye con perfil parabólico geométricamente preciso, pero fabricar tal espejo en la práctica es caro y difícil.

Cuando el objeto no es puntual

figura 8
Figura 8. Trazado de los rayos principales de
una imagen extendida en un espejo cóncavo.


Analicemos ahora el caso de un objeto extendido que es pequeño comparado con el radio de curvatura del espejo y está ubicado muy cerca del eje del espejo a una distancia mayor que la distancia focal como se muestra en la figura 8. Estas consideraciones son necesarias para que los rayos formen un pequeño ángulo con el eje del espejo.

En la figura 8 se ha trazado un haz de cuatro rayos procedentes de la punta del objeto, los que una vez reflejados forman la imagen de ese punto señalada como I. Estos cuatro rayos son particularmente útiles cuando se hace el diagrama de trazado de los rayos a fin de determinar donde se forma la imagen de cierto punto, y por extensión de todos los puntos del objeto y así determinar el lugar, posición y tamaño de la imagen. Se han tomado estos cuatro rayos, llamados rayos principales porque su trayectoria es fácil de determinar. Veamos:

1.- Rayo 1: Este rayo (azul) entra al sistema paralelo al eje del espejo y como hemos visto arriba estos rayos se reflejan por definición al foco del espejo.

2.- Rayo 2: Ahora el rayo (naranja) entra al sistema pasando por el foco, lo que implica que se refleja paralelo al eje del espejo (trayectoria contraria al rayo 1).

3.- Rayo 3: El Rayo 3 (rojo) pasa por el centro de curvatura del espejo, por lo tanto coincide con un radio de la esfera y por ello es perpendicular al espejo. Se refleja sobre sí mismo hacia atrás.

4.- Rayo 4: El Rayo 4 (violeta) incide sobre el centro de la superficie del espejo por lo que el ángulo de reflexión con respecto al eje del espejo es igual al ángulo de incidencia.

figura 9

Figura 9. Diagrama de rayos acotado.


Como todos los rayos se cruzan en el mismo punto-imagen no resulta necesario trazarlos todos para la determinación de la ubicación de este punto y el resultado se logra utilizando solo dos de los cuatro. Calculemos ahora la distancia a la que se forma la imagen en el eje del espejo (d') conociendo la distancia del objeto (d) y el radio de curvatura (R) del espejo. La figura 9 representa la misma situación de la figura 8 pero ahora se han utilizado solo dos rayos procedentes de la punta del objeto y se han acotado los puntos de interés.

Convencionalmente las distancias se miden desde el punto C' que es el centro de la superficie del espejo. Uno de esos rayos pasa por el centro de curvatura C del espejo y se refleja sobre si mismo. El segundo rayo alcanza el espejo en su centro (C')  y se refleja como se muestra obedeciendo la ley de la reflexión. La imagen de la punta de la flecha se ubica donde ambos rayos se interceptan. Del triángulo rectángulo azul se tiene que tan θ = h/d mientras el triángulo rectángulo amarillo nos dice que tan θ = - h'/d'. Aquí el signo negativo es para significar que la imagen está invertida con respecto al objeto (se considera h' negativo).

Si definimos la magnificación o ampliación M como:


(ecuación 2)


Entonces se tiene que:


(ecuación 3)

Usando otros dos triángulos rectángulos que tienen el ángulo α común podemos derivar que:

tan α = h/(dR)    y que también   tan α = h'/(Rd')

De donde se obtiene que:


(ecuación 4)

Igualando las ecuaciones 3 y 4 ya que tienen un factor común h'/h se llega a lo que se conoce como la ecuación del espejo:


(ecuación 5)

Como la ecuación 1 plantea que f = R/2 la ecuación 5 se puede expresar también como:


(ecuación 6)

figura 10
Figura 10. Trazado de los rayos principales de una imagen extendida ubicada al interior del foco.


Veamos ahora una situación particular en la que el objeto está colocado al interior del foco del espejo como se puede apreciar en la figura 10. En la figura se han trazado los rayos principales como se describió arriba a partir del punto S. Observe que el rayo 2 ("que entra al sistema pasando por el foco") se traza como si se comportara de esa forma y el rayo 3 ("que pasa por el centro de curvatura") se trata de la misma forma, es decir se comportan como si ellos pasarán por los puntos F y C respectivamente. En este caso los rayos reflejados del punto S del objeto no se interceptan de forma real pero están alineados como si vinieran de detrás del espejo desde el punto-imagen I, de forma similar a un espejo plano. Ahora la imagen es virtual, esta erecta y agrandada.

La cualidad de los espejos cóncavos de agrandar los objetos cuando el objeto está cerca del espejo se usa en odontología para observar por detrás los dientes, y en espejos de tocador a fin de poder acercarse al espejo y tener una imagen muy grande que permite ver los detalles de la piel.

Espejos convexos

Para determinar las propiedades de los espejos convexos se utiliza la misma técnica de trazado de rayos que usamos en los espejos cóncavos. La figura 11 a continuación muestra un espejo convexo al que llega un haz de rayos procedentes de un objeto en el infinito, es decir, son rayos luminosos paralelos al eje del espejo. Aquí C es el centro de curvatura de la esfera de la cual el espejo es un segmento, y todos los rayos luminosos que cruzan por C son perpendiculares al espejo.

figura 11
Figura 11. Espejo esférico convexo mostrando que la imagen
se forma detrás del espejo.

Observe dos cosas importantes:

1.- Los rayos se reflejan de forma divergente (se separan).

2.- Las prolongaciones de los rayos reflejados se interceptan en el foco del espejo y forman allí una imagen virtual del objeto ya que un observador frente al espejo percibe que la imagen está ubicada allí detrás del espejo.

No repetiremos aquí el mismo razonamiento trigonométrico llevado a cabo en el espejo cóncavo, pero de ese procedimiento se obtiene que ahora en los espejos convexos la distancia focal (f) vuelve a estar a la mitad del radio, esto es:

f = R/2

Cuando el objeto no es puntual

figura 12
Figura 12. Trazado de los rayos principales de una imagen extendida en un espejo convexo.


En la figura 12 se han trazado los cuatro rayos principales que parten de la punta de un objeto extendido, esto es:

1.- El rayo 1 paralelo al eje del espejo el que se refleja atrás a lo largo de la linea que pasa por el foco.

2.- El rayo 2 que entra al espejo como si pasara por el foco (F) y cuyo reflejo es paralelo al eje óptico del sistema.

3.- El rayo 3 dibujado como si pasara por el centro de curvatura del espejo (C) y cuyo reflejo regresa sobre si mismo.

4.- El rayo 4 que incide en el centro del espejo y se refleja formando un ángulo θ con el eje del espejo igual al de incidencia.

El trazado de los rayos principales indica claramente que sus rayos reflejados divergen desde el espejo, pero sin embargo, sus prolongaciones aparentan nacer en el punto I lo que significa que ahí está la imagen virtual de la punta de la flecha. Siguiendo el mismo procedimiento de trazado de rayos luminosos desde otros puntos del objeto podemos concluir que la imagen virtual formada es erecta y de menor tamaño que el objeto.

Si vamos alejando el objeto del espejo, la imagen es cada vez más pequeña pero siempre erecta y además nunca se convierte en una imagen real como en el caso del espejo cóncavo. Esta propiedad le da aplicación en los espejos retrovisores de los automóviles.

No intentaremos deducir ninguna de las ecuaciones que determinan las propiedades de los espejos convexos ya que los resultados de tales deducciones muestran que las ecuaciones obtenidas para los espejos cóncavos son aplicables también a los espejos convexos si se tiene en cuenta cierta convención en los signos.

Se pueden utilizar las ecuaciones 3, 5 y 6, esto es:


(ecuación 3)


(ecuación 5)

(ecuación 6)

obtenidas para los espejos cóncavos en los convexos si se considera que:

1.- d es positivo si el objeto está en el frente del espejo (objeto real).

2.- d es negativo si el objeto está en la parte trasera del espejo (objeto virtual).

3.- d' es positivo si la imagen está en el frente del espejo (imagen real).

4.- d' es negativo si la imagen está en la parte trasera del espejo (imagen virtual).

5.- f y R son ambos positivos si el centro de curvatura está en el frente del espejo (espejo cóncavo).

6.- f y R son ambos negativos si el centro de curvatura está en la parte trasera del espejo (espejo convexo).

7.- Si M es positivo la imagen es erecta.

8.- Si M es negativo la imagen es invertida.

Resumen


Las imágenes se forman donde los rayos luminosos se interceptan o donde aparentan originarse. Una imagen es real cuando los rayos luminosos se interceptan o pasan por el punto-imagen. Una imagen es virtual cuando la cual la luz no pasa por ella pero los rayos luminosos aparentan que divergen desde ese punto.

La imagen formada por un espejo plano tiene las propiedades siguientes:

1.- La imagen está detrás del espejo tanto como está el objeto delante del espejo.

2.- La imagen no magnifica el objeto, es virtual y erecta.

3.- La imagen intercambia la derecha con la izquierda.

La magnificación o ampliación, M, se define como la relación entre la altura de la imagen, h', y la altura del objeto, h, y es igual al negativo de la relación entre la distancia de la imagen, d', y la distancia del objeto, d.

(ecuación 3)

La distancia del objeto se relaciona con la distancia de la imagen en un espejo esférico de radio R a través de la ecuación del espejo:

(ecuación 6)

En la que f = R/2 y se llama distancia focal del espejo.



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