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Contenido del artículo
Refracción en superficies esféricas
Determinación de la distancia de la imagen
Lentes delgados
Ecuación del fabricante de lentes
Sistemas con múltiples lentes
Aberración
Resumen


Lentes

Para facilitar la comprensión del presente artículo se recomienda estudiar primero los artículos Reflexión y refracción así como Espejos en los que se definen o explican cuestiones claves necesarias para entender lo que se dice aquí.

En el artículo sobre espejos se vio que estos pueden cambiar la dirección de los rayos incidentes al reflejarlos, y crear con ello imágenes reales o virtuales de los objetos colocados a cierta distancia1 del espejo. Ahora, en este artículo, veremos que el mismo objetivo se puede conseguir usando refracción en lugar de reflexión a través del uso de lentes. Un lente típico es una pieza delgada de vidrio o plástico transparente tallada de forma que sus dos superficies son segmentos de esferas.

1 Por convención las distancias en los sistemas ópticos (lo mismo espejos que lentes) se miden sobre un eje perpendicular al centro de la superficie activa.

figura 1
Figura 1. Lo que sucede cuando un rayo luminoso alcanza la superficie entre dos medios transparentes de diferente índice de refracción.

Antes de comenzar a describir las propiedades de los lentes trataremos las cuestiones más importantes de la refracción en general, y en superficies esféricas en particular.

Cuando un rayo luminoso2 viaja en un medio transparente A (por ejemplo aire) con un índice de refracción n1 e incide de forma inclinada en la superficie de otro medio transparente B (por ejemplo agua) con índice de refracción diferente n2, el rayo se desvía por refracción de la trayectoria que tenía (figura 1) obedeciendo la ley de Snell:

n1 sen θ1 = n2 sen θ2      (ecuación 1)

2 Un rayo luminoso, es un modelo idealizado (o aproximado) de la luz en el cual esta se representa como una linea que apunta en la dirección de su   propagación, es decir en la dirección del flujo de energía.

Note que hemos usado la palabra "inclinada" ya que si el rayo luminoso incide perpendicular a la superficie no cambia su dirección al pasar de un medio al otro.

Refracción en superficies esféricas

figura 2

Figura 2. Trazado del rayo luminoso que alcanza la frontera cócava entre dos medios.


Este artículo se interesa en aplicar la ley de Snell no a una una frontera plana entre los medios como la de la figura 1, si no a un segmento de esfera con radio de curvatura R asumiendo que R es grande, y que los rayos luminosos entran a la superficie esférica paralelos (o casi paralelos) al eje3 del sistema (figura 2). Como veremos durante el desarrollo del artículo, el comportamiento de los rayos luminosos en tales superficies curvas nos permitirá comprender qué es un lente y cuáles son sus propiedades.

3  Por definición el eje de un sistema óptico es la linea que corre a lo largo del radio que va desde el centro de la superficie al centro de curvatura.

Para comenzar usaremos una superficie convexa4 de la cual el centro de curvatura es C y escogeremos que n1 < n2 de modo que cuando la luz pasa del medio A al medio B gira hacia la perpendicular a la superficie como se muestra en la figura 2. Note que la perpendicular a la superficie es cualquier linea que pasa por C (un radio)

4 Si los rayos luminosos entran a la superficie por el mismo lado en el que se encuentra el centro de curvatura, la superficie es cóncava pero si los rayos luminosos provienen del otro lado entonces es convexa.

figura 3
Figura 3. Acotado de los elementos importantes
relacionados con la figura 2.


Consideremos ahora que tenemos una fuente de luz a una gran distancia de la superficie de refracción, esto implica que los rayos luminosos que llegan a ella lo hacen paralelos5 al eje del sistema. Para la superficie convexa de la figura 3 a la izquierda, que es la misma superficie de la figura 2 pero con más detalle y acotaciones, el rayo luminoso gira hacia el eje y lo cruza en el punto F.

5 En realidad los rayos luminosos llegan paralelos a la superficie refractora si la fuente de luz está en el infinito, pero cuando la distancia es grande la aproximación es aceptable.

Como el radio de curvatura de la superficie es grande, los rayos luminosos paralelos al eje que inciden cerca de este, forman un ángulo de incidencia θ1 pequeño, el que a su vez produce un ángulo de refracción θ2 también pequeño de modo que puede tomarse como una aproximación adecuada que sen θ1 = θ1 y que sen θ2 = θ2 de esto se desprende que la ley de Snell puede escribirse como:

n1θ1 ≃ n2θ2     (ecuación 2)

De geometría elemental se obtiene que el ángulo ACB = θ1 y que el ángulo AFB = θ1 θ2 como se ha acotado en la figura 3. Hemos aceptado que tanto el seno de θ1 como el de θ2 son iguales en magnitud al valor de θ1 y θ2 respectivamente para ángulos pequeños, entonces la relación entre el segmento de arco AB y la distancia BF es:

AB ≃ BF (θ1 θ2)     (ecuación 3)

y como AB = 1, haciendo las sustituciones pertinentes en la ecuación 2 obtenemos que:


(ecuación 4)

De la ecuación 4 se deduce que la distancia BF es independiente del ángulo de incidencia para ángulos pequeños, y esto significa que todos los rayos incidentes pasarán por el punto F. El punto F se conoce como foco y la distancia BF como distancia focal que representaremos con una f. Además, el punto F es la imagen de un punto luminoso ubicado en el infinito. Esta imagen es una imagen real ya que físicamente los rayos luminosos refractados pasan por el punto-imagen.

Finalmente la distancia focal f tomada de la ecuación 4 es:


(ecuación 5)

Observe que la distancia focal para una superficie de refracción simple está más lejos de la superficie que el centro de curvatura como se muestra en la figura 3, y esto es fácil de demostrar de la ecuación 4 en la cual la distancia R está afectada por un número siempre mayor que 1 al ser n2 > n1.

figura 4

Figura 4. Refración en una superficie
cóncava.


Llegamos a la ecuación 5 partiendo de una superficie convexa y podríamos hacer lo mismo para el caso de la superficie cóncava por un procedimiento similar y llegaríamos a la misma expresión, con la excepción de que el foco está a la izquierda de la superficie, del mismo lado de C, es decir, del lado por donde arriban los rayos luminosos. La figura 4 muestra el trazado de los rayos para este caso y en ella se puede ver que la imagen formada es virtual, esto es, ahora los rayos refractados no pasan físicamente por el foco pero un observador colocado dentro del medio refractante percibe que los rayos luminosos divergen desde el punto F.

Cuando el objeto no es puntual

Analicemos ahora el caso de un objeto extendido que es pequeño comparado con el radio de curvatura de la superficie y está ubicado erecto sobre el eje del sistema. Estas consideraciones son necesarias para que los rayos formen un pequeño ángulo con el eje de la superficie.

Para la determinación de las propiedades de la imagen de este tipo de objeto resulta suficiente con el trazado de dos de los rayos principales, llamados así porque sus trayectorias son particularmente fáciles de seguir. Los rayos principales son 4:

1.- Rayo 1: Este rayo entra al sistema paralelo al eje de la superficie y como hemos visto arriba estos rayos se refractan por definición al foco de la superficie.

2.- Rayo 2: Ahora el rayo entra al sistema pasando por el foco, lo que implica que se refleja paralelo al eje de la superficie (trayectoria contraria al rayo 1).

3.- Rayo 3: El Rayo 3 pasa por el centro de curvatura de la superficie, por lo tanto coincide con un radio de la esfera y por ello es perpendicular a la superficie. No cambia su dirección. Este rayo no es aplicable a los lentes ya que como veremos más abajo los lentes tienen dos centros de curvatura.

4.- Rayo 4: El Rayo 4 incide sobre el centro de la superficie refractora por lo que obedece la ley de Snell.

figura 5

Figura 5. Trazado de los rayos para formar la imagen de la superficie refractora convexa.


Superficie convexa

Como ya se dijo arriba, para una sola superficie de refracción la distancia de la imagen, d',  de un punto, P,  perteneciente a un objeto colocado a la distancia, d, de la superficie refractora esférica convexa, se obtiene con el uso de dos rayos luminosos principales. En la figura 5 se muestra el rayo 1 incidente paralelo al eje de la superficie el que se refracta como sabemos en dirección al foco (punto F sobre el eje) y el rayo 3 que incide en linea recta a C (centro de curvatura). El rayo 3 es perpendicular a la superficie y por tanto no cambia de dirección. Ambos rayos se interceptan en el punto I, y aunque solo hemos trazado estos dos rayos, toda la ilimitada cantidad de rayos que salen del punto P pasarán por I. Usando el mismo procedimiento de trazado desde el resto de los puntos del objeto se puede construir la imagen completa, que como se ve en la figura 5, es una imagen real, ya que los rayos pasan físicamente por ella, y además es invertida.

Superficie cóncava

La superficie cóncava es más complicada, y la formación de la imagen depende de la distancia a la que se encuentre el objeto de la superficie. En las figuras de la 6 a la 8 se muestran tres posibilidades: en la primera (figura 6), el objeto fuente está más lejano de la superficie que el foco (punto F); en la segunda (figura 7), está por dentro del centro de curvatura (C), esto es, la distancia es menor que la longitud del radio; y en la tercera (figura 8)) el objeto se ubica a mayor distancia que un radio pero más cerca que el foco, es decir, está más lejano que el centro de curvatura pero más cercano que el foco.

figura 6
Figura 6. Objeto más lejano que F.

figura 7
Figura 7. Objeto más cercano que C.

figura 8
Figura 8. Objeto entre C y F.


En todos los casos se ha usado la misma técnica de rayos principales para localizar la imagen, I, del punto P. Note que en los casos de la figura 7 y 8 el rayo 3 no pasa por la superficie esférica, sin embargo, esto no tiene importancia práctica ya que los rayos principales son solo herramientas útiles para la localización de la imagen y bien podríamos extender la superficie para hacerlos pasar por ella.


En los tres casos la imagen es erecta y virtual, los rayos aparentan nacer divergentes en el punto I para un observador ubicado en el lado de la superficie curva, pero en realidad no pasan físicamente por allí.

Determinación de la distancia de la imagen.

Usando construcciones geométricas simples, las cuales no vamos a tratar aquí, se llega a que la expresión que vincula la distancia de la imagen (d') con la distancia del objeto (d) y con el radio (R) de la superficie de refracción es:


(ecuación 6)

Para la utilización de la ecuación 6 debemos tener en cuenta que una superficie refractora (a diferencia con el espejo) tiene dos lados, un lado en el que se originan los rayos luminosos (lado del objeto), y otro lado por donde los rayos pasan después de cruzar la frontera entre los medios, y esto es muy importante a la hora de determinar los signos de las magnitudes.

La ecuación 6 se obtuvo usando una superficie convexa, lo que significa que el centro de curvatura de la superficie está en el lado por donde los rayos luminosos pasan y asumamos que esto corresponde a un valor positivo de R, y en principio la distancia (d) del objeto real es también positiva. Si la distancia de la imagen (d') resulta positiva o negativa partiendo de la ecuación 6 es una cuestión de valores numéricos, ya que ambas situaciones pueden suceder:

1.- Cuando d' resulta positivo es porque está del lado por donde la luz pasa y la imagen es real, o dicho de otra forma la luz pasa por la imagen.

2.- Cuando d' resulta negativo es porque está del lado donde la luz se origina y la imagen es virtual, lo que significa que la luz aparenta que irradia desde allí para un observador en el medio 2.

Si la superficie es cóncava el centro de curvatura de la superfice esférica está del lado de la fuente de luz y la ecuación 6 se puede utilizar igualmente en este caso pero considerando a R como negativo. En el caso anterior consideramos R positivo cuando estaba del lado en el que la luz pasa, d era también positivo y la imagen era real, ahora la situación es inversa; la imagen está del lado por donde proviene la luz y es virtual de modo que d es negativo y similarmente R también.

figura 9
Figura 9. Seis tipos simples de lentes.


Lentes delgados

Los lentes delgados, o simplemente lentes, se usan comúnmente para formar imágenes en instrumentos ópticos tales como lupas, cámaras, telescopios y microscopios. Para nuestros propósitos un lente debe cumplir las condiciones siguientes:

1.- Ser de un material transparente de índice de refracción n que yace dentro de otro medio con índice de refracción n1, comúnmente aire, cuyo índice de refracción n1 = 1.

2.- Debe ser lo suficientemente delgado como para considerar que la distancia al objeto y a la imagen es independiente de la superficie del lente involucrada. Esta consideración simplifica el tratamiento considerablemente, y de hecho, en los diagramas los rayos se trazarán como si se refractaran en el centro del lente una sola vez. Más adelante se define con más detalle la condición de "delgado".

3.- Las dos superficies-fronteras (1 y 2 en la figura 9) son segmentos de esferas cóncavos o convexos con sus radios R1 y R2 respectivos.

Note que en la figura 9 hemos separados los lentes en dos grupos, A y B. Aquellos del grupo A que son más gruesos en el centro que en los bordes se les conoce como lentes convergentes, mientras que los del grupo B que son más gruesos en los bordes que en el centro se les llama lentes divergentes, y esos nombres provienen del hecho de que un haz de rayos paralelos que incide en un lente del grupo A convergen (se juntan) en un punto después de pasar por el lente y este punto como ya sabemos es el foco del lente. Por su parte los lentes del grupo B divergen (se separan) los rayos luminosos que llegan a ellos paralelos y en este caso los rayos aparentan originarse en el foco del lente. Vale aclarar aquí que la luz puede cruzar un lente delgado en cualquiera de las dos direcciones, esto es, entrando por una de las superficies esféricas y saliendo por la otra o vice versa por lo que se pueden tener dos focos uno a cada lado en dependencia de la dirección de los rayos luminosos.

figura 10
Figura 10. Trayectoria de dos rayos principales en un lente convergente.

figura 11
Figura 11. Desviación del rayo luminoso en
el lente.


Considere un rayo luminoso que pasa a través del centro del lente (rayo 4 en la figura 10 a la izquierda). Si seguimos la trayectoria de este rayo a lo ancho del lente, según la ley de Snell tenemos que el rayo refracta dos veces en su camino, primero en la superficie de incidencia y luego en la superficie de salida. El resultado total es una desviación de la trayectoria inicial una distancia que hemos llamado δ en la figura 11 a la derecha. Ahora haremos lo que se ha llamado aproximación del lente delgado (punto 2 de las condiciones de arriba), esto es el grueso del lente se asume despreciable y como resultado la dimensión δ → 0 de modo que el rayo luminosos que pasa por el centro del lente no sufre desviación alguna y cualquier otro que no pase por el centro sufre una sola desviación en la linea central del lente.

El rayo 1 de la figura 10 es paralelo al eje del lente y como resultado pasa por el foco (F) después de la refracción. El punto en el cual estos dos rayos se interceptan es la imagen, I,  del punto P.

Encontremos ahora las expresiones matemáticas que gobiernan el comportamiento del lente basándonos en la figura 10. Primero note que la tangente del ángulo α se puede determinar a través de los triángulos sombreados de amarillo:

tan α = h/d     y también    tan α = h'/d'      (ecuaciones 7 y 8)


Si llamamos ampliación o magnificación, M,  al cociente entre la altura de la imagen y la altura del objeto entonces de las ecuaciones 7 y 8 se desprende que:

(ecuación 7)

Si estudió el artículo sobre espejos se habrá podido dar cuenta que las expresiones de ampliación de espejos y lentes son idénticas.

Por otro lado en la misma figura 10 se tiene que:


e igualmente


Note que la dimensión AO usada en la primera de las dos ecuaciones anteriores es igual a la altura del objeto, h, por lo tanto tenemos que:


(ecuación 8)

Reorganizando la ecuación 8:


(ecuación 9)

Usando la ecuación 9 en combinación con la ecuación 7 y reorganizando luego se llega a:


(ecuación 10)

La ecuación 10 se conoce como la ecuación del lente delgado y se puede usar tanto con lentes convergentes como divergentes si se respeta un grupo de convenciones de signo que se resumen en la tabla 1.

Tabla 1. Convención de signos para los lentes delgados
Dimensión
Signo
d
+ si el objeto esta del lado en el que los rayos se originan.
d
si el objeto está del lado por donde los rayos pasan.
d'
+ si la imagen está del lado por donde los rayos pasan.
d'
si la imagen está del lado en el que los rayos se originan.
R1 y R2
+ si el centro de curvatura de la superficie está del lado por donde los rayos pasan.
R1 y R2 si el centro de curvatura la superficie está del lado en el que los rayos se originan.
f
+ para el lente convergente.
f
para el lente divergente.
 

Note de la tabla 1 que los lentes convergentes tienen la distancia focal positiva mientras que los lentes divergentes la tienen negativa y por este motivo a menudo se les llama lentes positivos y lentes negativos respectivamente.

Ecuación del fabricante de lentes

La longitud focal de un lente en el aire se relaciona con los radios de curvatura de las superficies anterior y posterior y con el índice de refracción del material del lente a través de la expresión que se conoce como ecuación del fabricante de lentes. La que se obtiene aplicando la ecuación 6 a cada una de las superficies del lente lo que después de una reorganización da como resultado final.


(ecuación 11)

Aquí R1 es el radio de curvatura de la superficie que está del lado en el que los rayos se originan y R2 el radio de curvatura de la superficie está del lado por donde los rayos pasan.

En las figuras 12, 13 y 14 se muestran tres diagramas de rayos principales para diferentes posibilidades. En la figura 12 el objeto esta localizado por fuera de la distancia focal en un lente convergente. En la figura 13 el objeto está ubicado por dentro de la distancia focal en un lente convergente y en la figura 14 el objeto está colocado por fuera de la distancia focal en un lente divergente.

figura 12
Figura 12. Objeto más lejano que F en un lente convergente.

figura 13
Figura 13. Objeto más cercano que F en un lente convergente.

figura 14
Figura 14. Objeto más lejano que F en un lente divergente.


Observe que para el lente convergente con el objeto más lejano que el foco (figura 12), la imagen es real e invertida. Para el mismo tipo de lente si el objeto está por dentro del foco (figura 13), la imagen es virtual, erecta y agrandada. Finalmente para el lente divergente (figura 14) la imagen es siempre virtual y erecta. Debe decirse que la exactitud de las construcciones geométricas de las figuras 12, 13 y 14 es aceptable si los rayos entran al lente con un ángulo pequeño, lo que sucede si la distancia entre los rayos y el eje es pequeña comparada con el radio de curvatura de las superficies del lente.

Sistemas con múltiples lentes

La utilización de dos o más lentes en serie (uno a continuación del otro) es clave para el funcionamiento de los instrumentos ópticos complejos, y el tratamiento de estos sistemas se hace aplicando la ecuación 10 a cada uno de los lentes en turno. El sistema debe ser tratado de modo que debe determinarse la imagen del primer lente como si no existiera ningún otro, después se usa la imagen generada por este primer lente como objeto para el segundo lente, y la de este segundo lente para el que le sigue si existiera un tercero. La imagen del último lente es la imagen del sistema.

figura 15
Figura 15. Trazado de rayos para dos lentes delgados convergentes.


La figura 15 muestra la construcción geométrica para dos lentes delgados convergentes. El objeto (flecha negra) está dentro de la distancia focal del lente 1 y se ha hecho el trazado de los rayos 1 y 4 desde el punto P. El rayo 1 que entra paralelo al eje del lente 1 se refracta y pasa por el foco del lente 1 (F1) y si asumimos que el lente 2 no está presente entonces el rayo 1 continuaría su camino sin perturbación después de pasar por el foco F1. De la misma forma que en casos anteriores, el rayo 4 pasa por el centro (O1) del lente 1 y por ello no desvía su ruta en el paso por el lente. Estos dos rayos no se interceptan físicamente en lugar alguno pero aparentan que divergen desde el punto I' (lineas discontinuas), de modo que un observador desde el lado derecho del lente 1 percibe la imagen del punto P en I'. Una imagen virtual y erecta.

Si ahora tenemos en cuenta el lente 2, debemos usar la imagen I' como objeto para este segundo lente. Por ello se han trazado desde P' los dos rayos principales rayo 1' y rayo 4' como lineas de rayas y puntos. El rayo 1' que entra al lente 2 paralelo al eje se refracta y pasa por el foco del lente 2 (F2), mientras que el rayo 4' cruza el lente en linea recta ya que pasa por su centro (O2). Ahora estos dos últimos rayos se interceptan en el punto I que es la imagen final de todo el sistema de lentes. Una imagen real e invertida.

La utilización de una imagen intermedia que hemos hecho a fin de encontrar la imagen final es un artificio facilitador de la tarea, pero en realidad los rayos 1 y 4 que emanan del punto P siguen la ruta marcada con lineas continuas desde P hasta I.

Aberración

Para el tratamiento de los lentes hemos utilizado ciertas aproximaciones que hacen de este una figura ideal, en tal modelo simple todos los rayos que abandonan un punto del objeto se enfocan después de pasar el lente a un solo punto dando una imagen perfecta. Sin embargo, la realidad difiere un tanto cuando se trata el asunto con precisión aplicando la ley de Snell a cada rayo luminoso en cada superficie de refracción. A través de este análisis riguroso se demuestra que los rayos procedente de un punto del objeto no pasan exactamente por el foco, lo que significa que en lugar de producir una imagen puntual aguda, la imagen generada abarca un área de enfoque dando una imagen borrosa. La separación entre la imagen teórica ideal prevista por el método simplificado y la imagen real formada se conoce como aberración. Se debe tener cuidado en no confundir la aberración con la distorsión, una imagen distorsionada es una imagen imperfecta desde el punto de vista geométrico es decir la imagen no es de forma idéntica al objeto mientras que en la aberración la forma de la imagen se mantiene bien pero la calidad de la imagen es mala debido a que es borrosa.

Se distinguen dos tipos de aberraciones: la aberración monocromática (también llamada aberración esférica) y la aberración cromática.

Aberración monocromática

figura 16
Figura 16. Aberración monocromática del lente convergente.


La aberración monocromática describe el hecho de que de que en un sistema óptico real los rayos procedentes de un punto dado de un objeto no convergen (enfocan) a un solo punto en la imagen. En la figura 16 se muestra la aberración monocromática de un lente convergente (los ángulos de los rayos se han exagerado para claridad). Note que los rayos que entran paralelos cerca del eje del lente tiene una distancia focal mayor que aquellos que lo hacen cerca de los bordes lo que implica que no existe una sola distancia focal en los lentes y que esta se va "acortando" a medida que los rayos se alejan del eje del lente. Para minimizar este efecto se trata de utilizar (cuando es posible) una pequeña área central del lente y así lograr imágenes bien definidas a expensas de perder espacio en la imagen.

Aberración cromática

figura 17
Figura 17. Aberración cromática en un lente convergente.

El hecho de que las diferentes longitudes de onda se refracten con ángulos diferentes por un lente, hace que cada color se enfoque a un punto diferente dando lugar a la aberración cromática. En el artículo Reflexión y refracción se describió como el índice de refracción de un material cambia con la longitud de onda y allí se vio que, por ejemplo, la luz violeta se desvía más de la trayectoria original que la luz roja. Dada esta situación, cuando un haz de rayos de luz blanca inciden en un lente, los rayos luminosos rojos constituyentes tienen la mayor distancia focal, y los rayos luminosos violetas la menor distancia focal (figura 17). El resto de los rayos luminosos de los otros colores se ubican en posiciones intermedias entre estos dos extremos. La aberración cromática de los lentes divergentes es contraria a la de los lentes convergentes y esta cualidad da pie a que en la práctica se usen combinaciones de lentes convergentes y divergentes hechos de diferentes tipos de vidrio para minimizar la aberración cromática. De la misma forma que en la figura 16, los ángulos se han exagerado notablemente.

Resumen

Las imágenes se forman donde los rayos luminosos se interceptan o en el punto donde aparentan que se originan. Una imagen real es aquella en la que los rayos luminosos se interceptan o pasan a través del punto. Una imagen es virtual si los rayos luminosos no pasan por el punto pero aparentan que allí se originan.

Las superficies esféricas pueden formar imágenes por refracción. La distancia de la imagen y la distancia del objeto para una superficie esférica de radio R se relacionan por la ecuación:


(ecuación 6)

La ampliación, M, de un lente delgado es:

(ecuación 7)

y las distancias de la imagen y el objeto se relacionan por la ecuación del lente delgado:


(ecuación 10)

La aberración es la responsable de la formación de imágenes borrosas. La aberración monocromática responde al hecho de que los rayos luminosos que entran al lente lejos del eje tienen una distancia focal diferente a la de los que entran cerca del eje. La aberración cromática tiene su origen en el hecho de que los rayos luminosos de diferentes longitudes de onda enfocan en puntos diferentes al pasar por un lente.



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